Supondo verdadeiro os limites abaixo, para cada epsilon>0 dado, encontre um de0 tal que a afirmaçăo na definição de limite seja verdadeira.
lim x 2(x^2-2 x+1)=1 ; epsilon=0,001

Passo 1

Enunciado resumido: Queremos mostrar que
\lim_{x\to 2}(x^2 - 2x + 1) = 1
usando a definição ε–δ. Aqui o conteúdo é “prova de limite pelo critério ε–δ”.
O que vamos precisar:
• Escrever |f(x) − L| em função de |x − 2|.
• Encontrar um modo de “controlar” os termos extras (como |x|).
• Escolher um δ em função de ε que garanta |f(x) − 1| < ε sempre que 0 < |x−2| < δ.

Passo 2

Vamos começar calculando a diferença entre a função e o valor limite:
f(x) = x^2 − 2x + 1, L = 1
Logo
|f(x) − 1| = |x^2 − 2x + 1 − 1| = |x^2 − 2x| = |x||x − 2|.

Passo 3

Para usar |x||x−2| < ε, precisamos controlar |x| quando x está perto de 2.
Se fizermos a hipótese |x − 2| < 1, então x ∈ (1,3), e portanto
|x| < 3.
Assim, sempre que |x−2|<1 temos
|f(x) − 1| = |x||x − 2| < 3·|x − 2|.

Passo 4

Agora exigimos 3·|x−2| < ε ⇒ |x−2| < ε/3.
Para garantir tudo ao mesmo tempo, escolhemos
δ = min{1,, ε/3}.
Então, sempre que 0<|x−2|<δ, temos primeiro |x−2|<1 ⇒ |x|<3, e simultaneamente |x−2|<ε/3 ⇒ 3·|x−2|<ε, ou seja |f(x)−1|<ε.

Resposta

Para ε = 0{,}001, basta tomar
de

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