Supondo verdadeiro os limites abaixo, para cada
dado, encontre um
tal que a afirmaçăo na definição de limite seja verdadeira.
Passo 1
Enunciado resumido: Queremos mostrar que
\lim_{x\to 2}(x^2 - 2x + 1) = 1
usando a definição ε–δ. Aqui o conteúdo é “prova de limite pelo critério ε–δ”.
O que vamos precisar:
• Escrever |f(x) − L| em função de |x − 2|.
• Encontrar um modo de “controlar” os termos extras (como |x|).
• Escolher um δ em função de ε que garanta |f(x) − 1| < ε sempre que 0 < |x−2| < δ.
\lim_{x\to 2}(x^2 - 2x + 1) = 1
usando a definição ε–δ. Aqui o conteúdo é “prova de limite pelo critério ε–δ”.
O que vamos precisar:
• Escrever |f(x) − L| em função de |x − 2|.
• Encontrar um modo de “controlar” os termos extras (como |x|).
• Escolher um δ em função de ε que garanta |f(x) − 1| < ε sempre que 0 < |x−2| < δ.
Passo 2
Vamos começar calculando a diferença entre a função e o valor limite:
f(x) = x^2 − 2x + 1, L = 1
Logo
|f(x) − 1| = |x^2 − 2x + 1 − 1| = |x^2 − 2x| = |x||x − 2|.
f(x) = x^2 − 2x + 1, L = 1
Logo
|f(x) − 1| = |x^2 − 2x + 1 − 1| = |x^2 − 2x| = |x||x − 2|.
Passo 3
Para usar |x||x−2| < ε, precisamos controlar |x| quando x está perto de 2.
Se fizermos a hipótese |x − 2| < 1, então x ∈ (1,3), e portanto
|x| < 3.
Assim, sempre que |x−2|<1 temos
|f(x) − 1| = |x||x − 2| < 3·|x − 2|.
Se fizermos a hipótese |x − 2| < 1, então x ∈ (1,3), e portanto
|x| < 3.
Assim, sempre que |x−2|<1 temos
|f(x) − 1| = |x||x − 2| < 3·|x − 2|.
Passo 4
Agora exigimos 3·|x−2| < ε ⇒ |x−2| < ε/3.
Para garantir tudo ao mesmo tempo, escolhemos
δ = min{1,, ε/3}.
Então, sempre que 0<|x−2|<δ, temos primeiro |x−2|<1 ⇒ |x|<3, e simultaneamente |x−2|<ε/3 ⇒ 3·|x−2|<ε, ou seja |f(x)−1|<ε.
Para garantir tudo ao mesmo tempo, escolhemos
δ = min{1,, ε/3}.
Então, sempre que 0<|x−2|<δ, temos primeiro |x−2|<1 ⇒ |x|<3, e simultaneamente |x−2|<ε/3 ⇒ 3·|x−2|<ε, ou seja |f(x)−1|<ε.
Resposta
Para ε = 0{,}001, basta tomar