Considere a integração abaixo, calcule o valor de c de modo que a solução y possa satisfazer as seguintes condições.
integral f(x) d x=F(x)+c
a) f(x)=x^2, y(2)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos
integral f(x),dx = F(x) + c
e que
a) y(2)=0
com a condição inicial

Ou seja, estamos na aula de integração indefinida e na parte de “constante de integração” alinhada com condição inicial. Para resolver, precisamos:
1) integrar ;
2) expressar a solução geral ;
3) usar para achar .

Passo 2

Primeiro, a teoria da integração indefinida:
Quando a gente integra uma função f(x)=x^2, , a gente procura uma outra função integral x^2,dx = x^33 + c cuja derivada seja y(x)=x^33 + c . E como a derivada de uma constante some, sempre adicionamos um “ ”.
Então, para
temos
Logo, nossa solução geral é

Passo 3

Agora vem a parte de condição inicial: a gente sabe que y(2) = 2^33 + c = 0 . Isso significa que, ao substituir 2^33 = 83 em 83 + c = 0 Longrightarrow c = -83 , o resultado deve ser zero. Então:
Calculemos :
Portanto:

Resposta

c = -83

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