Sabendo-se que o movimento pendular considerado pode ser aproximado pelo polinômio definido por f(a)=a^3-9 a+3, ache uma aproximação para a pelo método para Polinômios.
Com relação ao problema anterior e usando um número máximo de iterações igual a 3 passos, 4 casas decimais, pede-se:

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é a função
f(a) = a^3 ;-; 9a ;+; 3
e queremos achar uma raiz (ou seja, um valor de a que zere essa função) usando um método iterativo próprio para polinômios – que nada mais é do que o Método de Newton–Raphson.
Para aplicar o Newton, a gente vai precisar:
  1. da expressão de an+1 = an ;-;f(an)f'(an) ,
  2. da sua derivada ,
  3. de um palpite inicial ,
  4. da fórmula iterativa
Aqui combinamos de fazer 3 iterações e manter 4 casas decimais em cada resultado.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada:
f'(a) ;=; 3a^2 ;-; 9
Como um chute inicial escolhemos a1 = 3 ;-;f(3)f'(3) = 3 ;-;3^3 - 9cdot3 + 33cdot3^2 -9 = 3 ;-;318 = 3 - 0,1667 = 2,8333 (já que e , a raiz está entre 2 e 3).
Agora aplicamos a fórmula para obter :

Passo 3

Com f(2,8333) = (2,8333)^3 ;-;9cdot2,8333 +3 approx 0,2373 , vamos a f'(2,8333) =3,(2,8333)^2 -9 approx 15,0831 :
  1. Calcular a2 =2,8333 ;-;0,237315,0831 approx 2,8177
  1. Calcular
  1. Iterar:

Passo 4

Agora a3 =2,8177 ;-;-0,003414,8112 approx 2,8179 . Vamos ao último passo ( ):

Resposta

Após 3 iterações, a raiz aproximada é
boxeda approx 2,8179

Exercícios relacionados