Use aproximações por diferenças centradas para obter estimativas para a primeira derivada e diferenças progressivas para a segunda derivada de y=e^x em x=2 com h=0,1. Calcule o erro relativo percentual em cada caso.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente aproximar a derivada de primeiro e segundo ordem de
y = e^x
em , usando:
  • diferenças centradas para ,
  • diferenças progressivas para ,
    tudo com passo .
    Para isso, vamos precisar de:
  1. a fórmula de diferença finita (centrada e progressiva),
  2. valores de ,
  3. o valor “exato” das derivadas ( ),
  4. a definição de erro relativo percentual
    .

Passo 2

Primeira derivada por diferença centrada
  1. Teoria:
y'(x)approx y(x+h) - y(x-h)2h
Isso é “segunda ordem” em y'(2)approx e^2.1-e^1.92cdot0.1 =e^2.1-e^1.90.2 , ou seja, erro e^2.1approx 8.16617, e^1.9approx 6.68589 .
  1. Aplicando em y'(2)approx 8.16617 - 6.685890.2 = 1.480280.2 =7.4014 :
y'(2)=e^2approx 7.38906
  1. Valores (aprox.):
E% =l|tfrac7.4014 - 7.389067.38906r|times100% approx0.17%
Logo
  1. Derivada exata:
  1. Erro relativo percentual:

Passo 3

Segunda derivada por diferença progressiva
  1. Teoria (fórmula de três pontos avançados):
y''(x)approx y(x+2h) - 2,y(x+h) + y(x)h^2
Isso dá erro y''(2)approx e^2.2 - 2,e^2.1 + e^2(0.1)^2 = e^2.2 - 2,e^2.1 + e^20.01 .
  1. Em e^2.2approx9.02501,; e^2.1approx8.16617,; e^2.0approx7.38906 :
9.02501 - 2cdot8.16617 + 7.38906 =9.02501 -16.33234 + 7.38906 =0.08173
  1. Valores (aprox.):
y''(2)approx 0.081730.01=8.1729
Numerador
y''(2)=e^2approx7.38906
Então
E% =l|tfrac8.1729 - 7.389067.38906r|times100% approx10.6%
  1. Valor exato:
  1. Erro relativo percentual:

Resposta

  • com erro relativo .
  • com erro relativo .

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