Os seguintes dados correspondem a um polinômio de grau
. Qual é o grau do polinômio?
x
-2
-1
0
1
2
3
-5
1
1
1
7
25
Use a tabela de diferenças divididas.
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
-5 | 1 | 1 | 1 | 7 | 25 |
Passo 1
O enunciado dá seis pontos de uma função
que é um polinômio de grau
, e pede: qual é o grau desse polinômio usando a tabela de diferenças divididas? Dados fornecidos:
Ou seja, escrevendo como pares
:
Passo 2
O que é e por que usar diferenças divididas? Vou explicar devagarinho.
- A diferença dividida de primeira ordem entre dois pontos
e é a inclinação média:
Aqui
é só um nome para esse quociente (não confundir com multiplicação).
- A diferença dividida de ordem superior é obtida recursivamente usando diferenças divididas de ordem menor. Por exemplo, a diferença dividida de segunda ordem em índices consecutivos
é
- Propriedade importante (fundamental para descobrir o grau): se
é um polinômio de grau , então todas as diferenças divididas de ordem maior que são zero. Logo, fazendo a tabela e encontrando a maior ordem cuja diferença dividida não é zero, descobrimos o grau do polinômio.
Agora vamos construir a tabela passo a passo, calculando todas as diferenças divididas de ordem 1 até 5.
Passo 3
Calcular as diferenças divididas de primeira ordem
para
.
- Para
(entre e ):
- Para
(entre e ):
- Para
(entre e ):
- Para
(entre e ):
- Para
(entre e ):
Resumo da primeira coluna (ordem 1):
Passo 4
Calcular as diferenças divididas de segunda ordem
para
usando a fórmula recursiva.
- Para
(índices ):
- Para
(índices ):
- Para
(índices ):
- Para
(índices ):
Resumo da segunda coluna (ordem 2):
Passo 5
Calcular as diferenças divididas de terceira ordem
para
.
- Para
(índices ):
- Para
(índices ):
- Para
(índices ):
Resumo da terceira coluna (ordem 3):
Passo 6
Calcular as diferenças divididas de quarta ordem
para
.
- Para
(índices ):
- Para
(índices ):
Resumo da quarta coluna (ordem 4):
Passo 7
Calcular a diferença dividida de quinta ordem
:
Resumo da quinta coluna (ordem 5):
Passo 8
Interpretação final: ao olhar para a primeira entrada não-nula em cada coluna (ordem), vemos que as diferenças divididas de ordens
têm entradas não nulas (por exemplo, a terceira ordem tem valor
), enquanto todas as diferenças divididas de ordens
e
são zero. Pelo motivo explicado no Passo 2 (um polinômio de grau
tem diferenças divididas de ordem maior que
iguais a zero), concluímos que o maior
tal que existem diferenças divididas de ordem
não nulas é
. Portanto o polinômio tem grau
.