Os seguintes dados correspondem a um polinômio de grau \leq 5. Qual é o grau do polinômio?
x -2 -1 0 1 2 3
\mathrm{f}(\mathrm{x}) -5 1 1 1 7 25
Use a tabela de diferenças divididas.

Passo 1

O enunciado dá seis pontos de uma função f que é um polinômio de grau \le 5, e pede: qual é o grau desse polinômio usando a tabela de diferenças divididas? Dados fornecidos:
x : -2,\; -1,\; 0,\; 1,\; 2,\; 3
f(x) : -5,\; 1,\; 1,\; 1,\; 7,\; 25
Ou seja, escrevendo como pares (x_i,f_i):
(x_0,f_0)=(-2,-5),\quad (x_1,f_1)=(-1,1),\quad (x_2,f_2)=(0,1),
(x_3,f_3)=(1,1),\quad (x_4,f_4)=(2,7),\quad (x_5,f_5)=(3,25).

Passo 2

O que é e por que usar diferenças divididas? Vou explicar devagarinho.
  • A diferença dividida de primeira ordem entre dois pontos (x_i,f_i) e (x_j,f_j) é a inclinação média:
f[x_i,x_j]=\frac{f_j-f_i}{x_j-x_i}.
Aqui f[x_i,x_j] é só um nome para esse quociente (não confundir com multiplicação).
  • A diferença dividida de ordem superior é obtida recursivamente usando diferenças divididas de ordem menor. Por exemplo, a diferença dividida de segunda ordem em índices consecutivos i,i+1,i+2 é
f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}] = \frac{f[x_{i+1},x_{i+2}] - f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i}.
  • Propriedade importante (fundamental para descobrir o grau): se p(x) é um polinômio de grau n, então todas as diferenças divididas de ordem maior que n são zero. Logo, fazendo a tabela e encontrando a maior ordem cuja diferença dividida não é zero, descobrimos o grau do polinômio.
Agora vamos construir a tabela passo a passo, calculando todas as diferenças divididas de ordem 1 até 5.

Passo 3

Calcular as diferenças divididas de primeira ordem f[x_i,x_{i+1}] para i=0,\dots,4.
  1. Para i=0 (entre x_0=-2 e x_1=-1):
f[x_0,x_1]=\frac{f_1-f_0}{x_1-x_0}=\frac{1-(-5)}{-1-(-2)}=\frac{6}{1}=6.
  1. Para i=1 (entre -1 e 0):
f[x_1,x_2]=\frac{f_2-f_1}{x_2-x_1}=\frac{1-1}{0-(-1)}=\frac{0}{1}=0.
  1. Para i=2 (entre 0 e 1):
f[x_2,x_3]=\frac{f_3-f_2}{x_3-x_2}=\frac{1-1}{1-0}=\frac{0}{1}=0.
  1. Para i=3 (entre 1 e 2):
f[x_3,x_4]=\frac{f_4-f_3}{x_4-x_3}=\frac{7-1}{2-1}=\frac{6}{1}=6.
  1. Para i=4 (entre 2 e 3):
f[x_4,x_5]=\frac{f_5-f_4}{x_5-x_4}=\frac{25-7}{3-2}=\frac{18}{1}=18.
Resumo da primeira coluna (ordem 1):
6,\; 0,\; 0,\; 6,\; 18.

Passo 4

Calcular as diferenças divididas de segunda ordem f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}] para i=0,\dots,3 usando a fórmula recursiva.
  1. Para i=0 (índices 0,1,2):
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}=\frac{0-6}{0-(-2)}=\frac{-6}{2}=-3.
  1. Para i=1 (índices 1,2,3):
f[x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{x_3-x_1}=\frac{0-0}{1-(-1)}=\frac{0}{2}=0.
  1. Para i=2 (índices 2,3,4):
f[x_2,x_3,x_4]=\frac{f[x_3,x_4]-f[x_2,x_3]}{x_4-x_2}=\frac{6-0}{2-0}=\frac{6}{2}=3.
  1. Para i=3 (índices 3,4,5):
f[x_3,x_4,x_5]=\frac{f[x_4,x_5]-f[x_3,x_4]}{x_5-x_3}=\frac{18-6}{3-1}=\frac{12}{2}=6.
Resumo da segunda coluna (ordem 2):
-3,\; 0,\; 3,\; 6.

Passo 5

Calcular as diferenças divididas de terceira ordem f[x_i,x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3}] para i=0,1,2.
  1. Para i=0 (índices 0,1,2,3):
f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0}=\frac{0-(-3)}{1-(-2)}=\frac{3}{3}=1.
  1. Para i=1 (índices 1,2,3,4):
f[x_1,x_2,x_3,x_4]=\frac{f[x_2,x_3,x_4]-f[x_1,x_2,x_3]}{x_4-x_1}=\frac{3-0}{2-(-1)}=\frac{3}{3}=1.
  1. Para i=2 (índices 2,3,4,5):
f[x_2,x_3,x_4,x_5]=\frac{f[x_3,x_4,x_5]-f[x_2,x_3,x_4]}{x_5-x_2}=\frac{6-3}{3-0}=\frac{3}{3}=1.
Resumo da terceira coluna (ordem 3):
1,\; 1,\; 1.

Passo 6

Calcular as diferenças divididas de quarta ordem f[x_i,\dots,x_{i+4}] para i=0,1.
  1. Para i=0 (índices 0,\dots,4):
f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]=\frac{f[x_1,x_2,x_3,x_4]-f[x_0,x_1,x_2,x_3]}{x_4-x_0}=\frac{1-1}{2-(-2)}=\frac{0}{4}=0.
  1. Para i=1 (índices 1,\dots,5):
f[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5]=\frac{f[x_2,x_3,x_4,x_5]-f[x_1,x_2,x_3,x_4]}{x_5-x_1}=\frac{1-1}{3-(-1)}=\frac{0}{4}=0.
Resumo da quarta coluna (ordem 4):
0,\; 0.

Passo 7

Calcular a diferença dividida de quinta ordem f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5]:
f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5]=\frac{f[x_1,\dots,x_5]-f[x_0,\dots,x_4]}{x_5-x_0}=\frac{0-0}{3-(-2)}=\frac{0}{5}=0.
Resumo da quinta coluna (ordem 5):
0.

Passo 8

Interpretação final: ao olhar para a primeira entrada não-nula em cada coluna (ordem), vemos que as diferenças divididas de ordens 0,1,2,3 têm entradas não nulas (por exemplo, a terceira ordem tem valor 1), enquanto todas as diferenças divididas de ordens 4 e 5 são zero. Pelo motivo explicado no Passo 2 (um polinômio de grau n tem diferenças divididas de ordem maior que n iguais a zero), concluímos que o maior n tal que existem diferenças divididas de ordem n não nulas é n=3. Portanto o polinômio tem grau 3.

Resposta

3

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