Se x e y são números reais que tornam simultaneamente verdadeiras as sentenças 2^x+y-2=30 e 2^x-y-2= 0 , então x^y é igual a?

Passo 1

O enunciado diz que existem dois números reais 2^x+y-2 = 30e 2^x-y-2 = 0 e que tornam verdadeiras simultaneamente as sentenças
Isso faz parte de Equações Exponenciais e Sistemas Lineares. Para resolver vamos usar:
  • A ideia de que, se , então .
  • Montar um sistema de equações lineares em e .
  • Resolver esse sistema e depois calcular .

Passo 2

Primeiro focamos em
2^x+y-2 = 30
Passo a passo:
  1. Isolamos o termo exponencial somando 2 dos dois lados:
2^x+y = 30 + 2 = 32
  1. Reconhecemos que x + y = 5 .
  2. Como , pela propriedade das potências, temos

Passo 3

Agora a segunda equação:
2^x-y-2 = 0
  1. Somamos 2 nos dois lados:
2^x-y = 2
  1. Note que x - y = 1 .
  2. Igualando expoentes:
x + y = 5, x - y = 1
Então o sistema linear é
(x+y) + (x-y) = 5 + 1 Rightarrow 2x = 6 Rightarrow x = 3
Para resolver, somamos as duas equações:
3 + y = 5 Rightarrow y = 2
Depois, substituímos em :

Passo 4

Agora que sabemos x^y = 3^2 = 9 e , calculamos

Resposta

9

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