Determine o valor numérico de x+y,onde :
[
\left{ l 2^x=8^y+1 9^y=3^x-9 \right.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é um sistema de duas equações com potências:
2^x=8^,y+1, 9^y=3^,x-9
Conteúdo principal: propriedades de potências, tipo
  1. ;
  2. se com e , então .
    Vamos usar isso pra reescrever as bases e igualar expoentes, encontrando e e, no final, .

Passo 2

Olha a primeira equação:
2^x = 8^,y+1
Sabemos que 8^,y+1 = l(2^3r)^y+1 = 2^3,(y+1) = 2^3y+3 . Então
x = 3y + 3
Como agora temos , aplicamos a regra “mesma base → expoentes iguais” e obtemos

Passo 3

Agora a segunda equação:
9^y = 3^,x-9
Como 9^y = (3^2)^y = 3^2y , fazemos
2y = x - 9 Longrightarrow x = 2y + 9
Então . Igualando expoentes (mesma base 3), temos

Passo 4

Já temos duas expressões pra x = 3y + 3 e x = 2y + 9 :
3y + 3 = 2y + 9 ;Longrightarrow; 3y - 2y = 9 - 3 ;Longrightarrow; y = 6
Basta igualar:
x = 3cdot 6 + 3 = 18 + 3 = 21
Com , usa uma das fórmulas para , por exemplo :

Resposta

.

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