Quais são as principais fontes de erros devido a operações em maquinas digitais?
Passo 1
Beleza, o exercício tá perguntando “Quais são as principais fontes de erros devido a operações em máquinas digitais?” — ou seja, a gente está lidando com o conteúdo de aritmética de ponto flutuante e erros numéricos. Para resolver você precisa entender como números reais são armazenados em binário finito, como ocorre o arredondamento, o que é cancelamento catastrófico, overflow/underflow e como esses erros se propagam.
Passo 2
Erro de representação (quantização)
Toda máquina guarda número em ponto flutuante com mantissa e expoente limitados. Um real vira um número “mais próximo”
. A diferença
Toda máquina guarda número em ponto flutuante com mantissa e expoente limitados. Um real
é o erro de representação. Esse erro é do mesmo tamanho da “unidade de máquina” ou
, que diz o quão fino é o gradinho de cada passo na mantissa.
Passo 3
Erro de arredondamento
Quando você soma, multiplica etc., o resultado exato (onde
é qualquer operação) pode não ser representável, então a máquina arredonda:
Quando você soma, multiplica etc., o resultado exato
com
. Esse desvio
é o erro de arredondamento.
Passo 4
Cancelamento catastrófico
Se você faz e
e
são quase iguais, a diferença real é pequena mas o arredondamento mantém poucas casas, explodindo o erro relativo. Por exemplo,
pode virar
erro grande.
Se você faz
Passo 5
Overflow e underflow
– Overflow: resultado maior que o máximo representável → “estouro” (Infinito).
– Underflow: resultado muito próximo de zero, menor que o mínimo normal → vira zero ou subnormal, perdendo precisão.
– Overflow: resultado maior que o máximo representável → “estouro” (Infinito).
– Underflow: resultado muito próximo de zero, menor que o mínimo normal → vira zero ou subnormal, perdendo precisão.
Passo 6
Propagação de erros
Erros iniciais (de representação e arredondamento) se acumulam em sequências de operações. A análise de propagação usa estimativas tipo
Erros iniciais (de representação e arredondamento) se acumulam em sequências de operações. A análise de propagação usa estimativas tipo
Resposta
As principais fontes de erro em máquinas digitais são:
- Erro de representação (quantização) devido à mantissa e expoente finitos.
- Erro de arredondamento em cada operação aritmética.
- Cancelamento catastrófico ao subtrair números quase iguais.
- Overflow (estouro de grandeza) e underflow (aproximação a zero).
- Propagação e amplificação desses erros ao longo de várias operações.