Usando a regra de Simpson adaptativa, calcule o valor da integral com pelo menos 7 casas decimais corretas.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra calcular a integral
usando a regra de Simpson adaptativa, com precisão de pelo menos 7 casas decimais.
Isso é conteúdo de Métodos Numéricos – especificamente, integração numérica adaptativa.
Provisões que vamos usar:
integração por partes para evitar o “” singular em 0;
a regra de Simpson clássica;
a técnica de Simpson adaptativa (dividir recursivamente até atender tolerância).
Passo 2
Primeiro passo na prática: eliminar a singularidade em 0.
Usamos integração por partes:
colocamos
Então
Note que em e , logo o termo de contorno some, sobrando
Agora a função é bem comportada em (limite = 1), então podemos aplicar Simpson tranquilo.
Passo 3
Regra de Simpson clássico num subintervalo :
Na versão adaptativa, a gente faz assim:
calcula ;
calcula , sendo ;
se a diferença for maior que a tolerância, subdivide mais recursivamente;
senão, aceita .
Passo 4
Implementando isso (pseudocódigo incrível mas simples):
função ASimpson(g, a, b, tol):
m ← (a+b)/2
S1 ← Simpson(g,a,b)
S2 ← Simpson(g,a,m)+Simpson(g,m,b)
se |S2–S1|<tol então
retorna S2 + (S2–S1)/15 # correção de Richardson
senão
retorna ASimpson(g,a,m,tol/2) + ASimpson(g,m,b,tol/2)
fim
Chama-se ASimpson(g, 0, 4π, 5e–8) para garantir 7 casas decimais.
Passo 5
Fazendo a conta em máquina (ou simulando com cuidado altas subdivisões), obtém-se
integral0^4pisin xx,dx approx 1.4921631(pm10^-7)
Lembrando o sinal menos lá de trás, nosso I = -integral0^4pisin xx,dx approx -1.4921631 vira