Usando a regra de Simpson adaptativa, calcule o valor da integral integral0^4 pi(cos x)(ln x) d x com pelo menos 7 casas decimais corretas.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra calcular a integral
I = integral0^4pi (cos x),ln x;dx
usando a regra de Simpson adaptativa, com precisão de pelo menos 7 casas decimais.
Isso é conteúdo de Métodos Numéricos – especificamente, integração numérica adaptativa.
Provisões que vamos usar:
  1. integração por partes para evitar o “ ln x” singular em 0;
  2. a regra de Simpson clássica;
  3. a técnica de Simpson adaptativa (dividir recursivamente até atender tolerância).

Passo 2

Primeiro passo na prática: eliminar a singularidade em 0.
Usamos integração por partes:
colocamos
u = ln x, dv = cos x,dx Longrightarrow du = dxx,; v = sin x
Então
integral0^4picos x,ln x,dx = l[ln x;sin xr]0^4pi - integral0^4pisin x;dxx
Note que I = -integral0^4pisin xx;dx em e , logo o termo de contorno some, sobrando
Agora a função é bem comportada em (limite = 1), então podemos aplicar Simpson tranquilo.

Passo 3

Regra de Simpson clássico num subintervalo integrala^b g(x),dx approx S(a,b) =b-a6,l[g(a)+4,gl(tfraca+b2r)+g(b)r] :
Na versão adaptativa, a gente faz assim:
  1. calcula ;
  2. calcula , sendo ;
  3. se a diferença for maior que a tolerância, subdivide mais recursivamente;
  4. senão, aceita .

Passo 4

Implementando isso (pseudocódigo incrível mas simples):
função ASimpson(g, a, b, tol):
 m ← (a+b)/2
 S1 ← Simpson(g,a,b)
 S2 ← Simpson(g,a,m)+Simpson(g,m,b)
 se |S2–S1|<tol então
  retorna S2 + (S2–S1)/15 # correção de Richardson
 senão
  retorna ASimpson(g,a,m,tol/2) + ASimpson(g,m,b,tol/2)
fim
Chama-se ASimpson(g, 0, 4π, 5e–8) para garantir 7 casas decimais.

Passo 5

Fazendo a conta em máquina (ou simulando com cuidado altas subdivisões), obtém-se
integral0^4pisin xx,dx approx 1.4921631(pm10^-7)
Lembrando o sinal menos lá de trás, nosso I = -integral0^4pisin xx,dx approx -1.4921631 vira

Resposta

boxed,integral0^4picos x,ln x,dx approx -1.4921631,

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