Use o método da bissecção para encontrar soluções, com precisão de até 10^-5 para o seguinte problema.
x^2-4 x+4-ln x=0 para 1 <= x <= 2 e 2 <= x <= 4

Passo 1

Beleza, o enunciado diz pra achar as raízes da equação
f(x)=x^2-4x+4-ln x=0
em dois intervalos: e , usando o método da bissecção até uma precisão de .
Conteúdo: Teorema do Valor Intermediário (para garantir que há raiz quando e têm sinais opostos) e o método da bissecção (dividir o intervalo ao meio repetidamente até atingir a tolerância).

Passo 2

Primeiro definimos
f(x)=(x-2)^2-ln x
No intervalo :

  • Como e têm sinais opostos, por o Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em .

Passo 3

Agora lembrando o método da bissecção:
  1. Dado com , calcule .
  2. Se ou , pare.
  3. Caso contrário, escolha o subintervalo ou onde o sinal de em ou seja oposto, e repita.
Vamos aplicar até .

Passo 4

Após várias iterações (dividindo o intervalo ao meio e checando o sinal de boxedx1approx1.41236), a estimativa converge para
no intervalo , com .

Passo 5

Agora o segundo intervalo, :

  • Logo há uma raiz em .

Passo 6

Repetimos a bissecção em até . Em cada passo calculamos o ponto médio , avaliamos e selecionamos o subintervalo com mudança de sinal.

Passo 7

Depois de algumas iterações a raiz se estabiliza em
boxedx2approx3.05708
com a mesma precisão de .

Resposta

As soluções encontradas por bissecção são
xapprox1.41236, & 1<= x<=2, xapprox3.05708, & 2<= x<=4

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