Para a seguinte equação, determine um intervalo
no qual a iteração de ponto fixo convergirá. Estime o número de iterações necessárias para obter aproximações precisas dentro de
e execute os cálculos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação por iteração de ponto‐fixo
Matéria: método de ponto‐fixo (contracção).
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Definir
. - Mostrar que
é contracção num intervalo . - Estimar número de iterações via constante de Lipschitz.
- Executar algumas iterações até o erro ser menor que
.
Passo 2
Primeiro, a ideia de contracção: se
tiver derivada limitada por
em
, então a iteração
converge para o único ponto‐fixo.
Calculamos
Calculamos
O máximo de
é
, logo
para todo
.
Passo 3
Agora escolhemos um intervalo que seja levado em si mesmo por
. Por exemplo
.
- Se
, então
Logo
serve:
-
é contracção lá dentro ( ). -
.
Passo 4
Erro e número de iterações.
Para contracção vale
Para contracção vale
Escolhemos
, daí
Para garantir
basta
Passo 5
Vamos ver as primeiras iterações só pra confirmar que converge rapidinho:
x0 = 0.5
x1 ≈ 0.67850
x2 = g(x1) ≈ 0.70309
x3 = g(x2) ≈ 0.70478
x4 = g(x3) ≈ 0.70488
x5 = g(x4) ≈ 0.70488 (já estabiliza na 4ª–5ª iteração)
x0 = 0.5
x1 ≈ 0.67850
x2 = g(x1) ≈ 0.70309
x3 = g(x2) ≈ 0.70478
x4 = g(x3) ≈ 0.70488
x5 = g(x4) ≈ 0.70488 (já estabiliza na 4ª–5ª iteração)
Mas para garantir erro <
precisamos de cerca de 32 iterações.
Resposta
Intervalo de convergência:
.
Constante de Lipschitz .
Estimativa de iterações: .
Ponto‐fixo aproximado:
Constante de Lipschitz
Estimativa de iterações:
Ponto‐fixo aproximado: