Para a seguinte equação, determine um intervalo [a, b] no qual a iteração de ponto fixo convergirá. Estime o número de iterações necessárias para obter aproximações precisas dentro de 10^-5 e execute os cálculos.
x=0.5(sin x+cos x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação por iteração de ponto‐fixo
x = 0.5(sin x + cos x),
Matéria: método de ponto‐fixo (contracção).
O que vamos precisar:
  1. Definir .
  2. Mostrar que é contracção num intervalo .
  3. Estimar número de iterações via constante de Lipschitz.
  4. Executar algumas iterações até o erro ser menor que .

Passo 2

Primeiro, a ideia de contracção: se g'(x)=tfrac12(cos x-sin x), tiver derivada limitada por |g'(x)|<= tfrac12raiz2approx0.707<1 em , então a iteração converge para o único ponto‐fixo.
Calculamos
O máximo de é , logo
para todo .

Passo 3

Agora escolhemos um intervalo que seja levado em si mesmo por g(x)=0.5(sin x+cos x)in[,0.5(sin(-1)+cos(-1)),,0.5(sin1+cos1),] =[-0.1506,;0.6909]subset[-1,1] . Por exemplo .
  • Se , então
Logo serve:
  1. é contracção lá dentro ( ).
  2. .

Passo 4

Erro e número de iterações.
Para contracção vale
|xn - x^*|<= L^n1-L,|x1-x0|,
Escolhemos x1=g(0.5)=0.5(sin0.5+cos0.5)approx0.67850, |x1-x0|approx0.17850 , daí
L^n1-L,0.1785<10^-5 ;Longrightarrow; n>lnl(10^-5(1-L)/0.1785r)ln L approx32
Para garantir basta

Passo 5

Vamos ver as primeiras iterações só pra confirmar que converge rapidinho:
x0 = 0.5
x1 ≈ 0.67850
x2 = g(x1) ≈ 0.70309
x3 = g(x2) ≈ 0.70478
x4 = g(x3) ≈ 0.70488
x5 = g(x4) ≈ 0.70488 (já estabiliza na 4ª–5ª iteração)
Mas para garantir erro < precisamos de cerca de 32 iterações.

Resposta

Intervalo de convergência: x^*approx0.70488 .
Constante de Lipschitz .
Estimativa de iterações: .
Ponto‐fixo aproximado:

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