Para a seguinte equação, determine um intervalo [a, b] no qual a iteração de ponto fixo convergirá. Estime o número de iterações necessárias para obter aproximações precisas dentro de 10^-5 e execute os cálculos.
x=(e^x / 3)^1 / 2

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente tratar a equação
x ;=;l(tfrace^x3r)^1/2
como um problema de iteração de ponto-fixo. A matéria aqui é justamente “método do ponto-fixo”:
  1. A gente define .
  2. Procura um intervalo onde a iteração converge.
  3. Usa o critério e faz estimativa do número de iterações pra atingir precisão .
  4. Por fim, rodamos a iteração e obtemos o valor aproximado.

Passo 2

Primeiro, derivada de g(x)=l(e^x/3r)^1/2 =e^x/2raiz3 Longrightarrow g'(x)=12raiz3,e^x/2 :
O critério de convergência uniforme exige .

Passo 3

Vamos achar um intervalo razoável. Note que
|g'(x)|=e^x/22raiz3
Para garantir e^b/2<2raiz3Longrightarrow b<2ln(2raiz3)approx2,48 , basta ter
Escolhemos, por simplicidade, .
  1. Em : .
  2. Em : .
  3. Verificamos :
    • e
    • ;
      fica dentro de .

Passo 4

Para estimar iterações, usamos o teorema: se |xn - x^*|<=L^n1-L,|x1-x0| , então
L^n<=(1-L),10^-5De=ln!l((1-L),10^-5/De
Tome , então e .
Queremos , logo
Substituindo e , dá .

Passo 5

Basta iterar
xn+1=raize^xn3, x0=0,8,
até x16approx0,90938 . O valor converge para aproximadamente

Resposta

Intervalo de convergência: .
Número de iterações estimado: .
Aproximação final: .

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