Para a seguinte equação, determine um intervalo
no qual a iteração de ponto fixo convergirá. Estime o número de iterações necessárias para obter aproximações precisas dentro de
e execute os cálculos.
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente tratar a equação
como um problema de iteração de ponto-fixo. A matéria aqui é justamente “método do ponto-fixo”:
- A gente define
. - Procura um intervalo
onde a iteração converge. - Usa o critério
e faz estimativa do número de iterações pra atingir precisão . - Por fim, rodamos a iteração e obtemos o valor aproximado.
Passo 2
Primeiro, derivada de
:
O critério de convergência uniforme exige
.
Passo 3
Vamos achar um intervalo razoável. Note que
Para garantir
, basta ter
Escolhemos, por simplicidade,
.
- Em
: . - Em
: . - Verificamos
: -
e -
;
fica dentro de.
-
Passo 4
Para estimar iterações, usamos o teorema: se
, então
Tome
, então
e
.
Queremos , logo
Queremos
Substituindo
e
, dá
.
Passo 5
Basta iterar
até
. O valor converge para aproximadamente
Resposta
Intervalo de convergência:
.
Número de iterações estimado: .
Aproximação final: .
Número de iterações estimado:
Aproximação final: