Para a seguinte equação, determine um intervalo [a, b] no qual a iteração de ponto fixo convergirá. Estime o número de iterações necessárias para obter aproximações precisas dentro de 10^-5 e execute os cálculos.
x=2-e^x+x^23

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente tem a equação de ponto fixo
x = g(x) com g(x)=2 - e^x + x^23,,
e precisa:
1) achar um intervalo onde a iteração converge;
2) estimar quantas iterações são necessárias para chegar com erro menor que ;
3) realmente executar as iterações até essa precisão.
O conteúdo envolvido é Método de Ponto Fixo (contrac­t­ões, derivada de , estimativa de erro). Vamos precisar de:
- saber o critério de contração ( ),
- fórmula de estimativa de erro ,
- e um chute inicial para rodar a iteração.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de
g(x)=2 - e^x + x^23
g'(x)=-e^x + 2x3
Queremos achar um intervalo tal que
  1. em (para ser contração);
  2. (para mantermos a sequência dentro do intervalo).
Escolhendo :
  • Em : .
  • Em : .
    Logo .

Passo 3

Agora, verificamos que |xn - r|<= k^n1-k,|x1-x0|, x0=0,;x1=g(0)=tfrac13,;1-k=tfrac23 de fato manda |xn-r|<= (1/3)^n2/3cdot13 =(1/3)^n2 em si:
  • .
  • .
    Então é um bom intervalo de contração, com constante .
Para estimar o número de iterações até , usamos
Fica
Queremos . Fazendo log e resolvendo dá .

Passo 4

Bora iterar com (arredondando a 4 dígitos):
x0 = 0
x1 = g(x0) = 0.3333
x2 = g(x1) ≈ 0.2385
x3 = g(x2) ≈ 0.2625
x4 = g(x3) ≈ 0.2563
x5 = g(x4) ≈ 0.2579
x6 = g(x5) ≈ 0.2574
x7 = g(x6) ≈ 0.2576
x8 = g(x7) ≈ 0.2575
x9 = g(x8) ≈ 0.2576
x10 = g(x9) ≈ 0.2576
A partir de , a variação já está abaixo de .

Resposta

Intervalo de convergência: .
Constante de contração: .
Número de iterações necessárias: cerca de 10.
Raiz aproximada: .

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