Para a seguinte equação, determine um intervalo no qual a iteração de ponto fixo convergirá. Estime o número de iterações necessárias para obter aproximações precisas dentro de e execute os cálculos.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente tem a equação de ponto fixo
e precisa:
1) achar um intervalo onde a iteração converge;
2) estimar quantas iterações são necessárias para chegar com erro menor que ;
3) realmente executar as iterações até essa precisão.
O conteúdo envolvido é Método de Ponto Fixo (contractões, derivada de , estimativa de erro). Vamos precisar de:
- saber o critério de contração (),
- fórmula de estimativa de erro ,
- e um chute inicial para rodar a iteração.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
g(x)=2 - e^x + x^23
g'(x)=-e^x + 2x3
Queremos achar um intervalo tal que
em (para ser contração);
(para mantermos a sequência dentro do intervalo).
Escolhendo :
Em : .
Em : .
Logo .
Passo 3
Agora, verificamos que |xn - r|<= k^n1-k,|x1-x0|, x0=0,;x1=g(0)=tfrac13,;1-k=tfrac23 de fato manda |xn-r|<= (1/3)^n2/3cdot13 =(1/3)^n2 em si:
.
.
Então é um bom intervalo de contração, com constante .