O volume V de líquido em um tanque esférico de raio r está relacionado à profundidade h do líquido por
V=pi h^2(3 r-h)3
Determine h dado r=1 m e V=0,5 m^3.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o volume de líquido num tanque esférico de raio V = pi,h^2,(3r - h)3, é
e a gente precisa achar a profundidade quando e .
Conteúdo: geometria de sólidos (volume de segmento de esfera) e um pouquinho de álgebra pra resolver a equação que vai aparecer. Vamos precisar isolar e lidar com uma equação cúbica, depois usar aproximação numérica porque raramente queremos a fórmula geral de 3° grau na unha.

Passo 2

Primeiro, substitui 0,5 = pi,h^2,(3cdot1 - h)3 Longrightarrow 0,5 = pi,h^2,(3 - h)3 e na fórmula:

Passo 3

Multiplica os dois lados por 3 e divide por 1,5 = pi,h^2,(3 - h) Longrightarrow h^2,(3 - h) = 1,5pi pra simplificar:
3h^2 - h^3 = 1,5pi Longrightarrow h^3 - 3h^2 + 1,5pi = 0
Isso dá
f(h) = h^3 - 3h^2 + 1,5pi
Pronto, temos uma equação cúbica , onde

Passo 4

Para resolver sem ficar decorando a fórmula do cúbico, a gente faz um método de aproximação (por exemplo, bissecção ou Newton). A ideia é testar valores de e ir acertando até a diferença ficar bem pequenininha. Como tem que estar entre e (não faz sentido passar da esfera), começamos chutando perto de m.

Passo 5

Vou mostrar rapidinho com o método de Newton (que é só mais eficiente):
  1. Definimos hn+1 = hn - f(hn)f'(hn) e .
  2. Chute inicial: .
  3. Iteração:
  • Para :
    ,
    ,
    então .
  • Segunda volta:
    ,
    ,
    então .
Percebeu? Rapidinho a gente já chega em torno de m e a diferença passa a ser mínima.

Resposta

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