O volume
de líquido em um tanque esférico de raio
está relacionado à profundidade
do líquido por
Determine
dado
e
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que o volume de líquido num tanque esférico de raio
é
e a gente precisa achar a profundidade
quando
e
.
Conteúdo: geometria de sólidos (volume de segmento de esfera) e um pouquinho de álgebra pra resolver a equação que vai aparecer. Vamos precisar isolar e lidar com uma equação cúbica, depois usar aproximação numérica porque raramente queremos a fórmula geral de 3° grau na unha.
Conteúdo: geometria de sólidos (volume de segmento de esfera) e um pouquinho de álgebra pra resolver a equação que vai aparecer. Vamos precisar isolar
Passo 2
Primeiro, substitui
e
na fórmula:
Passo 3
Multiplica os dois lados por 3 e divide por
pra simplificar:
Isso dá
Pronto, temos uma equação cúbica
, onde
Passo 4
Para resolver
sem ficar decorando a fórmula do cúbico, a gente faz um método de aproximação (por exemplo, bissecção ou Newton). A ideia é testar valores de
e ir acertando até a diferença ficar bem pequenininha. Como
tem que estar entre
e
(não faz sentido passar da esfera), começamos chutando perto de
m.
Passo 5
Vou mostrar rapidinho com o método de Newton (que é só mais eficiente):
- Definimos
e . - Chute inicial:
. - Iteração:
- Para
:
,
,
então. - Segunda volta:
,
,
então.
Percebeu? Rapidinho a gente já chega em torno de
m e a diferença passa a ser mínima.