Para a seguinte equação, determine um intervalo [a, b] no qual a iteração de ponto fixo convergirá. Estime o número de iterações necessárias para obter aproximações precisas dentro de 10^-5 e execute os cálculos.
x=5^-x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra achar um intervalo x = 5^-x, em que a iteração de ponto-fixo convergirá para a solução de
xn+1 = g(xn), g(x)=5^-x
ou seja, a gente vai usar a forma
O conteúdo é Iteração de Ponto-Fixo (Teorema do Ponto Fixo / Contração). Para resolver, a gente precisa:
  1. Escolher .
  2. Achar um intervalo tal que mapeie em si mesmo e ali dentro (contração).
  3. Estimar o número de iterações pra chegar em erro menor que usando a estimativa a priori.

Passo 2

Definimos
g(x) = 5^-x
Ponto-fixo significa maxxin[a,b]|g'(x)| = q < 1, . A teoria diz: se g'(x) = -ln(5),5^-x, |g'(x)|=ln(5),5^-x for contínua em , e
então, para qualquer , a sequência converge para . Aqui

Passo 3

Agora escolhemos um intervalo razoável em volta da raiz (que fica em torno de 0.47). A gente testa g([0.4,0.55])approx[0.413,0.526]subset[0.4,0.55]; :
  1. q = |g'(0.4)| = ln(5),5^-0.4approx1.6094times0.5257approx0.846 <1 e . Isso mostra
  2. o máximo de em acontece no menor , ou seja em :
Pronto, satisfaz as condições de contração.

Passo 4

Pra estimar o número de iterações |xn - x^*| <= q^n1-q,|x1 - x0| que garante erro menor que x1 = g(0.5)=5^-0.5approx0.4472, |x1-x0|approx0.0528 , usamos a estimativa a priori:
q^N1-q,0.0528 <= 10^-5 ;Longrightarrow; q^N <= 10^-5(1-q)0.0528 approx10^-5times0.1540.0528 approx2.9times10^-5
Escolhendo N >= ln(2.9times10^-5)ln(0.846) approx -10.45-0.167 approx 62,5 , temos
Queremos
Como , tomamos logaritmo:
Arredondando para cima, precisamos de iterações.

Resposta

Intervalo de convergência: .
Número de iterações estimado para : .

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