Para a seguinte equação, determine um intervalo
no qual a iteração de ponto fixo convergirá. Estime o número de iterações necessárias para obter aproximações precisas dentro de
e execute os cálculos.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra achar um intervalo
em que a iteração de ponto-fixo convergirá para a solução de
ou seja, a gente vai usar a forma
O conteúdo é Iteração de Ponto-Fixo (Teorema do Ponto Fixo / Contração). Para resolver, a gente precisa:
- Escolher
. - Achar um intervalo
tal que mapeie em si mesmo e ali dentro (contração). - Estimar o número de iterações pra chegar em erro menor que
usando a estimativa a priori.
Passo 2
Definimos
Ponto-fixo significa
. A teoria diz: se
for contínua em
,
e
então, para qualquer
, a sequência
converge para
. Aqui
Passo 3
Agora escolhemos um intervalo razoável em volta da raiz (que fica em torno de 0.47). A gente testa
:
-
e . Isso mostra - o máximo de
em acontece no menor , ou seja em :
Pronto,
satisfaz as condições de contração.
Passo 4
Pra estimar o número de iterações
que garante erro menor que
, usamos a estimativa a priori:
Escolhendo
, temos
Queremos
Como
, tomamos logaritmo:
Arredondando para cima, precisamos de
iterações.
Resposta
Intervalo de convergência:
.
Número de iterações estimado para :
.
Número de iterações estimado para