Para o seguinte sistema linear:
\left\{\begin{aligned} 4 x_{1}+2 x_{2}+x_{3} & =-1 \\\\ -x_{1}-5 x_{2}+3 x_{3} & =-5.5 \\\ x_{1}+x_{2}+3 x_{3} & =3.5 \end{aligned}\right.
(a) Demonstre que os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel convergem para a solução desse sistema.
(b) Ache uma aproximação para a solução do sistema linear utilizando o método de Jacobi, tomando X^{0}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{t}, \varepsilon<0,001 e com no máximo 10 iterações.
(c) Ache uma aproximação para a solução do sistema linear utilizando o método de GaussSeidel, tomando X^{0}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{t}, \varepsilon<0,001 e com no máximo 10 iterações.
(d) Calcule o vetor resíduo para ambas as soluções encontradas.

Passo 1

O sistema dado é
\left\{\begin{aligned} 4x_{1}+2x_{2}+x_{3} &= -1,\\\\ - x_{1}-5x_{2}+3x_{3} &= -5{,}5,\\\ x_{1}+x_{2}+3x_{3} &= 3{,}5. \end{aligned}\right.
O que o enunciado pede:
(a) provar que os métodos de Jacobi e Gauss–Seidel convergem para a solução deste sistema;
(b) aproximar a solução pelo método de Jacobi, com X^{0}=\begin{bmatrix}0&0&0\end{bmatrix}^{t}, tolerância \varepsilon<0{,}001 e no máximo 10 iterações;
(c) aproximar a solução pelo método de Gauss–Seidel com as mesmas condições iniciais e tolerância;
(d) calcular o vetor resíduo para ambas as soluções obtidas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1\\\\ -1 & -5 & 3\\\\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix},
e o vetor do lado direito é
b=\begin{pmatrix}-1\\\ -5{,}5\\\ 3{,}5\end{pmatrix}.
  • O chute inicial para ambos os métodos é X^{0}=\begin{bmatrix}0&0&0\end{bmatrix}^{t}.
  • Critério de parada: \|X^{k+1}-X^{k}\|_{\infty}<0{,}001 ou no máximo 10 iterações.

Passo 2

Estratégia para (a) — mostrar convergência usando dominância diagonal por linhas e norma infinito.
Definições e ideia chave (mini-aula):
  • Escrevendo A=D+L+U, onde D é a diagonal de A, L a parte estritamente inferior e U a parte estritamente superior, o método de Jacobi tem matriz de iteração
B_{J}=D^{-1}(L+U),
e o método de Gauss–Seidel tem matriz de iteração
B_{GS}=-(D+L)^{-1}U.
  • Um critério suficiente de convergência para um método iterativo linear é que a razão espectral da matriz de iteração seja menor que 1, isto é, \rho(B)<1. Uma maneira prática de garantir \rho(B)<1 é mostrar que existe uma norma de matriz tal que \|B\|<1, pois \rho(B)\le\|B\|.
  • A norma infinito de uma matriz M é \|M\|_{\infty}=\max_{i}\sum_{j}|m_{ij}| (máxima soma absoluta das linhas). Para o método de Jacobi, se a matriz A é estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou seja, |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para toda i), então \|B_J\|_{\infty}<1 e segue que \rho(B_J)<1 e o método converge. Há um resultado análogo que diz que, sob a mesma hipótese de dominância diagonal estrita por linhas, o método de Gauss–Seidel também converge.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso sistema: verificar dominância diagonal linha a linha.
Calcular, para cada linha i, o termo |a_{ii}| e a soma dos demais \sum_{j\ne i}|a_{ij}|:
  • Linha 1: |a_{11}|=4, \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=|2|+|1|=3. Então 4>3.
  • Linha 2: |a_{22}|=5, \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=|{-1}|+|3|=1+3=4. Então 5>4.
  • Linha 3: |a_{33}|=3, \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=|1|+|1|=2. Então 3>2.
Conclusão intermédia: A é estritamente diagonalmente dominante por linhas.

Passo 4

Prova direta de convergência para Jacobi (detalhada, usando norma infinito).
Monte D,L,U:
D=\begin{pmatrix}4&0&0\\\ 0&-5&0\\\ 0&0&3\end{pmatrix},\quad L=\begin{pmatrix}0&0&0\\\ -1&0&0\\\ 1&1&0\end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix}0&2&1\\\ 0&0&3\\\ 0&0&0\end{pmatrix}.
A matriz de iteração de Jacobi é
B_J=D^{-1}(L+U).
Calcule a norma infinito de B_J linha a linha: cada elemento da linha i de B_J é \dfrac{a_{ij}}{a_{ii}} para j\ne i, portanto a soma absoluta da linha i em B_J é \dfrac{\sum_{j\ne i}|a_{ij}|}{|a_{ii}|}.
  • Linha 1: \dfrac{|2|+|1|}{4}=\dfrac{3}{4}=0{,}75.
  • Linha 2: \dfrac{|{-1}|+|3|}{5}=\dfrac{4}{5}=0{,}8.
  • Linha 3: \dfrac{|1|+|1|}{3}=\dfrac{2}{3}\approx0{,}6667.
    Assim
\|B_J\|_{\infty}=\max\{0{,}75,0{,}8,0{,}6667\}=0{,}8<1.
Logo \rho(B_J)\le\|B_J\|_{\infty}=0{,}8<1, portanto o método de Jacobi converge para qualquer chute inicial.

Passo 5

Prova (curta) de convergência para Gauss–Seidel.
Há um resultado teórico padrão: se A é estritamente diagonalmente dominante por linhas, então o método de Gauss–Seidel converge (para qualquer chute inicial). Intuitivamente isso decorre do facto de (D+L) ser invertível e da norma apropriada do operador B_{GS}=-(D+L)^{-1}U ser menor que 1; formalmente a condição de dominância diagonal estrita garante \rho(B_{GS})<1. Como já verificámos a dominância diagonal estrita de A no Passo 3, concluímos que o método de Gauss–Seidel também converge para a solução do sistema.
Resposta ao item (a): ambos os métodos convergem porque A é estritamente diagonalmente dominante por linhas (demonstração via \|B_J\|_{\infty}<1 e teorema padrão para Gauss–Seidel).

Passo 6

Preparação prática para (b) — fórmulas de iteração de Jacobi.
Isolando cada variável das equações:
\begin{aligned} x_{1} &= \frac{-1-2x_{2}-x_{3}}{4},\\[4pt] x_{2} &= \frac{5{,}5 - x_{1} +3x_{3}}{5},\\[4pt] x_{3} &= \frac{3{,}5 - x_{1} - x_{2}}{3}. \end{aligned}
No método de Jacobi todas as três atualizações usam os valores da iteração anterior X^{k}.
Vou iterar a partir de X^{0}=(0,0,0)^{t} e calcular X^{1},X^{2},\dots até \|X^{k+1}-X^{k}\|_{\infty}<0{,}001 ou até k=10. Em cada passo usarei as fórmulas acima e mostrarei o \|\Delta X\|_{\infty}.]

Passo 7

Iterações de Jacobi (cálculos passo a passo — valores com boa precisão):
X^{0}=(0,0,0)^{t}.
  • k=0\to1:
\begin{aligned} x_{1}^{1}&=\dfrac{-1-2\cdot0-0}{4}=-0{,}25,\\[4pt] x_{2}^{1}&=\dfrac{5{,}5-0+3\cdot0}{5}=1{,}1,\\[4pt] x_{3}^{1}&=\dfrac{3{,}5-0-0}{3}=1{,}1666666667. \end{aligned}
X^{1}=(-0{,}25,\;1{,}1,\;1{,}1666666667)^{t}. \|\Delta X\|_{\infty}=1{,}1666666667.
  • k=1\to2:
\begin{aligned} x_{1}^{2}&=\dfrac{-1-2(1{,}1)-1{,}1666666667}{4}=-1{,}09166666675,\\[4pt] x_{2}^{2}&=\dfrac{5{,}5-(-0{,}25)+3(1{,}1666666667)}{5}=1{,}85,\\[4pt] x_{3}^{2}&=\dfrac{3{,}5-(-0{,}25)-1{,}1}{3}=0{,}8833333333. \end{aligned}
X^{2}=(-1{,}09166666675,\;1{,}85,\;0{,}8833333333)^{t}. \|\Delta X\|_{\infty}=0{,}84166666675.
  • k=2\to3:
X^{3}=(-1{,}39583333333,\;1{,}8483333334,\;0{,}9138888889)^{t},\quad \|\Delta X\|_{\infty}=0{,}30416666658.
  • k=3\to4:
X^{4}=(-1{,}40263888898,\;1{,}9275,\;1{,}01583333333)^{t},\quad \|\Delta X\|_{\infty}=0{,}10194444444.
  • k=4\to5:
X^{5}=(-1{,}46770833333,\;1{,}99002777778,\;0{,}991712963)^{t},\quad \|\Delta X\|_{\infty}=0{,}06506944435.
  • k=5\to6:
X^{6}=(-1{,}49294212965,\;1{,}98856944447,\;0{,}99256018584)^{t},\quad \|\Delta X\|_{\infty}=0{,}02523379632.
  • k=6\to7:
X^{7}=(-1{,}49242476869,\;1{,}99412453744,\;1{,}00145756173)^{t},\quad \|\Delta X\|_{\infty}=0{,}00889737588.
  • k=7\to8:
X^{8}=(-1{,}49742665915,\;1{,}99935949078,\;0{,}99943341042)^{t},\quad \|\Delta X\|_{\infty}=0{,}00523495334.
  • k=8\to9:
X^{9}=(-1{,}49953809799,\;1{,}99914537808,\;0{,}99935572279)^{t},\quad \|\Delta X\|_{\infty}=0{,}00211143884.
  • k=9\to10:
X^{10}=(-1{,}49941161974,\;1{,}99952105327,\;1{,}00013090664)^{t},\quad \|\Delta X\|_{\infty}=0{,}00077518385<0{,}001.
Como em k=10 a norma do passo ficou abaixo de 0{,}001, paramos aqui. A aproximação pelo método de Jacobi (com 10 iterações) é X^{10} mostrado acima.]

Passo 8

Preparação prática para (c) — fórmulas de Gauss–Seidel e observação.
As fórmulas são as mesmas das do Passo 6, porém no Gauss–Seidel, ao calcular x_{i}^{k+1} dentro de uma iteração, usam‑se imediatamente os valores já atualizados x_{1}^{k+1},\dots,x_{i-1}^{k+1} e os restantes valores antigos x_{i+1}^{k},\dots. Começando em X^{0}=(0,0,0)^{t}, vou iterar até \|\Delta X\|_{\infty}<0{,}001 ou no máximo 10 iterações.

Passo 9

Iterações de Gauss–Seidel (cálculos passo a passo — valores com boa precisão):
X^{0}=(0,0,0)^{t}.
  • k=0\to1:
\begin{aligned} x_{1}^{1}&=\dfrac{-1-2\cdot0-0}{4}=-0{,}25,\\[4pt] x_{2}^{1}&=\dfrac{5{,}5-(-0{,}25)+3\cdot0}{5}=1{,}15,\\[4pt] x_{3}^{1}&=\dfrac{3{,}5-(-0{,}25)-1{,}15}{3}=0{,}8666666667. \end{aligned}
X^{1}=(-0{,}25,\;1{,}15,\;0{,}8666666667)^{t}, \|\Delta X\|_{\infty}=1{,}15.
  • k=1\to2:
X^{2}=(-1{,}04166666668,\;1{,}82833333334,\;0{,}90444444445)^{t},\quad \|\Delta X\|_{\infty}=1{,}29166666668.
  • k=2\to3:
X^{3}=(-1{,}39027777778,\;1{,}92072222222,\;0{,}98985185185)^{t},\quad \|\Delta X\|_{\infty}=0{,}3486111111.
  • k=3\to4:
X^{4}=(-1{,}45782407407,\;1{,}98547592593,\;0{,}99078271605)^{t},\quad \|\Delta X\|_{\infty}=0{,}06754629629.
  • k=4\to5:
X^{5}=(-1{,}49043364198,\;1{,}99255635802,\;0{,}99929242798)^{t},\quad \|\Delta X\|_{\infty}=0{,}03260956791.
  • k=5\to6:
X^{6}=(-1{,}49610128601,\;1{,}99879571399,\;0{,}99910185734)^{t},\quad \|\Delta X\|_{\infty}=0{,}00566764403.
  • k=6\to7:
X^{7}=(-1{,}49917332133,\;1{,}99868137160,\;1{,}00016398324)^{t},\quad \|\Delta X\|_{\infty}=0{,}00307203532.
  • k=7\to8:
X^{8}=(-1{,}49938168161,\;1{,}99993305421,\;0{,}99974675571)^{t},\quad \|\Delta X\|_{\infty}=0{,}00125168261.
  • k=8\to9:
X^{9}=(-1{,}49990321603,\;1{,}99972438975,\;1{,}00005960876)^{t},\quad \|\Delta X\|_{\infty}=0{,}00052153442<0{,}001.
Neste ponto (após computar X^{9}) a condição de parada \|\Delta X\|_{\infty}<0{,}001 é satisfeita. Portanto a solução aproximada pelo método de Gauss–Seidel, com o critério pedido, é X^{9} dado acima. Observe que o Gauss–Seidel convergiu em menos iterações do que o Jacobi, como frequentemente acontece.]

Passo 10

Cálculo do vetor resíduo (item d).
Definição: para uma aproximação \tilde X, o vetor resíduo é r=b-A\tilde X. Vou calcular r para as aproximações obtidas.
  • Para Jacobi: tomei \tilde X_{J}=X^{10}=\begin{pmatrix}-1{,}49941161974\\[2pt]1{,}99952105327\\[2pt]1{,}00013090664\end{pmatrix}.
    Calcule A\tilde X_{J}:
A\tilde X_{J}\approx\begin{pmatrix}-0{,}9984734657708674\\[2pt]-5{,}497800926717606\\[2pt]3{,}5005021534457497\end{pmatrix}.
Então
r_{J}=b-A\tilde X_{J}\approx\begin{pmatrix}-1-(-0{,}9984734657708674)\\[2pt]-5{,}5-(-5{,}497800926717606)\\[2pt]3{,}5-3{,}5005021534457497\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}-0{,}0015265342291326\\[2pt]-0{,}002199073282394\\[2pt]-0{,}0005021534457497\end{pmatrix}.
  • Para Gauss–Seidel: tomei \tilde X_{GS}=X^{9}=\begin{pmatrix}-1{,}49990321603\\[2pt]1{,}99972438975\\[2pt]1{,}00005960876\end{pmatrix}.
    Calcule A\tilde X_{GS}:
A\tilde X_{GS}\approx\begin{pmatrix}-1{,}0001044758740963\\[2pt]-5{,}498539906414294\\[2pt]3{,}500000000000000\end{pmatrix}.
Então
r_{GS}=b-A\tilde X_{GS}\approx\begin{pmatrix}-1-(-1{,}0001044758740963)\\[2pt]-5{,}5-(-5{,}498539906414294)\\[2pt]3{,}5-3{,}500000000000000\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}0{,}0001044758740963\\[2pt]-0{,}001460093585706\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Estes vetores são pequenos (normas da ordem de 10^{-3} ou menores), compatíveis com a precisão das aproximações obtidas.]

Resposta

(a) Ambos convergem, pois A é estritamente diagonalmente dominante por linhas ( |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para i=1,2,3); para Jacobi tem-se \|B_J\|_{\infty}=0{,}8<1, logo \rho(B_J)<1, e por teoria análoga Gauss–Seidel também converge.
(b) Aproximação por Jacobi (parando quando \|X^{k+1}-X^{k}\|_{\infty}<0{,}001, após 10 iterações):
X_{J}\approx\begin{pmatrix}-1{,}49941161974\\[2pt]1{,}99952105327\\[2pt]1{,}00013090664\end{pmatrix}.
(c) Aproximação por Gauss–Seidel (parando quando \|X^{k+1}-X^{k}\|_{\infty}<0{,}001, convergiu em 9 iterações):
X_{GS}\approx\begin{pmatrix}-1{,}49990321603\\[2pt]1{,}99972438975\\[2pt]1{,}00005960876\end{pmatrix}.
(d) Vetores resíduo:
r_{J}=b-A X_{J}\approx\begin{pmatrix}-0{,}00152653423\\[2pt]-0{,}00219907328\\[2pt]-0{,}00050215345\end{pmatrix},\qquad r_{GS}=b-A X_{GS}\approx\begin{pmatrix}0{,}00010447587\\[2pt]-0{,}00146009359\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

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