(a) Demonstre que os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel convergem para a solução desse sistema.
(b) Ache uma aproximação para a solução do sistema linear utilizando o método de Jacobi, tomando X^{0}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{t}, \varepsilon<0,001 e com no máximo 10 iterações.
(c) Ache uma aproximação para a solução do sistema linear utilizando o método de GaussSeidel, tomando X^{0}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{t}, \varepsilon<0,001 e com no máximo 10 iterações.
(d) Calcule o vetor resíduo para ambas as soluções encontradas.
O que o enunciado pede:
(a) provar que os métodos de Jacobi e Gauss–Seidel convergem para a solução deste sistema;
(b) aproximar a solução pelo método de Jacobi, com X^{0}=\begin{bmatrix}0&0&0\end{bmatrix}^{t}, tolerância \varepsilon<0{,}001 e no máximo 10 iterações;
(c) aproximar a solução pelo método de Gauss–Seidel com as mesmas condições iniciais e tolerância;
(d) calcular o vetor resíduo para ambas as soluções obtidas.
O chute inicial para ambos os métodos é X^{0}=\begin{bmatrix}0&0&0\end{bmatrix}^{t}.
Critério de parada: \|X^{k+1}-X^{k}\|_{\infty}<0{,}001 ou no máximo 10 iterações.
Passo 2
Estratégia para (a) — mostrar convergência usando dominância diagonal por linhas e norma infinito.
Definições e ideia chave (mini-aula):
Escrevendo A=D+L+U, onde D é a diagonal de A, L a parte estritamente inferior e U a parte estritamente superior, o método de Jacobi tem matriz de iteração
B_{J}=D^{-1}(L+U),
e o método de Gauss–Seidel tem matriz de iteração
B_{GS}=-(D+L)^{-1}U.
Um critério suficiente de convergência para um método iterativo linear é que a razão espectral da matriz de iteração seja menor que 1, isto é, \rho(B)<1. Uma maneira prática de garantir \rho(B)<1 é mostrar que existe uma norma de matriz tal que \|B\|<1, pois \rho(B)\le\|B\|.
A norma infinito de uma matriz M é \|M\|_{\infty}=\max_{i}\sum_{j}|m_{ij}| (máxima soma absoluta das linhas). Para o método de Jacobi, se a matriz A é estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou seja, |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para toda i), então \|B_J\|_{\infty}<1 e segue que \rho(B_J)<1 e o método converge. Há um resultado análogo que diz que, sob a mesma hipótese de dominância diagonal estrita por linhas, o método de Gauss–Seidel também converge.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso sistema: verificar dominância diagonal linha a linha.
Calcular, para cada linha i, o termo |a_{ii}| e a soma dos demais \sum_{j\ne i}|a_{ij}|:
Linha 1: |a_{11}|=4, \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=|2|+|1|=3. Então 4>3.
Linha 2: |a_{22}|=5, \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=|{-1}|+|3|=1+3=4. Então 5>4.
Linha 3: |a_{33}|=3, \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=|1|+|1|=2. Então 3>2.
Conclusão intermédia: A é estritamente diagonalmente dominante por linhas.
Passo 4
Prova direta de convergência para Jacobi (detalhada, usando norma infinito).
Calcule a norma infinito de B_J linha a linha: cada elemento da linha i de B_J é \dfrac{a_{ij}}{a_{ii}} para j\ne i, portanto a soma absoluta da linha i em B_J é \dfrac{\sum_{j\ne i}|a_{ij}|}{|a_{ii}|}.
Linha 1: \dfrac{|2|+|1|}{4}=\dfrac{3}{4}=0{,}75.
Linha 2: \dfrac{|{-1}|+|3|}{5}=\dfrac{4}{5}=0{,}8.
Linha 3: \dfrac{|1|+|1|}{3}=\dfrac{2}{3}\approx0{,}6667.
Assim
Logo \rho(B_J)\le\|B_J\|_{\infty}=0{,}8<1, portanto o método de Jacobi converge para qualquer chute inicial.
Passo 5
Prova (curta) de convergência para Gauss–Seidel.
Há um resultado teórico padrão: se A é estritamente diagonalmente dominante por linhas, então o método de Gauss–Seidel converge (para qualquer chute inicial). Intuitivamente isso decorre do facto de (D+L) ser invertível e da norma apropriada do operador B_{GS}=-(D+L)^{-1}U ser menor que 1; formalmente a condição de dominância diagonal estrita garante \rho(B_{GS})<1. Como já verificámos a dominância diagonal estrita de A no Passo 3, concluímos que o método de Gauss–Seidel também converge para a solução do sistema.
Resposta ao item (a): ambos os métodos convergem porque A é estritamente diagonalmente dominante por linhas (demonstração via \|B_J\|_{\infty}<1 e teorema padrão para Gauss–Seidel).
Passo 6
Preparação prática para (b) — fórmulas de iteração de Jacobi.
No método de Jacobi todas as três atualizações usam os valores da iteração anterior X^{k}.
Vou iterar a partir de X^{0}=(0,0,0)^{t} e calcular X^{1},X^{2},\dots até \|X^{k+1}-X^{k}\|_{\infty}<0{,}001 ou até k=10. Em cada passo usarei as fórmulas acima e mostrarei o \|\Delta X\|_{\infty}.]
Passo 7
Iterações de Jacobi (cálculos passo a passo — valores com boa precisão):
Como em k=10 a norma do passo ficou abaixo de 0{,}001, paramos aqui. A aproximação pelo método de Jacobi (com 10 iterações) é X^{10} mostrado acima.]
Passo 8
Preparação prática para (c) — fórmulas de Gauss–Seidel e observação.
As fórmulas são as mesmas das do Passo 6, porém no Gauss–Seidel, ao calcular x_{i}^{k+1} dentro de uma iteração, usam‑se imediatamente os valores já atualizados x_{1}^{k+1},\dots,x_{i-1}^{k+1} e os restantes valores antigos x_{i+1}^{k},\dots. Começando em X^{0}=(0,0,0)^{t}, vou iterar até \|\Delta X\|_{\infty}<0{,}001 ou no máximo 10 iterações.
Passo 9
Iterações de Gauss–Seidel (cálculos passo a passo — valores com boa precisão):
Neste ponto (após computar X^{9}) a condição de parada \|\Delta X\|_{\infty}<0{,}001 é satisfeita. Portanto a solução aproximada pelo método de Gauss–Seidel, com o critério pedido, é X^{9} dado acima. Observe que o Gauss–Seidel convergiu em menos iterações do que o Jacobi, como frequentemente acontece.]
Passo 10
Cálculo do vetor resíduo (item d).
Definição: para uma aproximação \tilde X, o vetor resíduo é r=b-A\tilde X. Vou calcular r para as aproximações obtidas.
Para Jacobi: tomei \tilde X_{J}=X^{10}=\begin{pmatrix}-1{,}49941161974\\[2pt]1{,}99952105327\\[2pt]1{,}00013090664\end{pmatrix}.
Calcule A\tilde X_{J}:
Estes vetores são pequenos (normas da ordem de 10^{-3} ou menores), compatíveis com a precisão das aproximações obtidas.]
Resposta
(a) Ambos convergem, pois A é estritamente diagonalmente dominante por linhas (|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para i=1,2,3); para Jacobi tem-se \|B_J\|_{\infty}=0{,}8<1, logo \rho(B_J)<1, e por teoria análoga Gauss–Seidel também converge.
(b) Aproximação por Jacobi (parando quando \|X^{k+1}-X^{k}\|_{\infty}<0{,}001, após 10 iterações):