Responda verdadeiro ou falso (e justifique):
Os autovalores de A são: 3,-1,2. Então A é positiva definida.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma matriz cujos autovalores são . A questão é: “Então é positiva definida?”
Conteúdo: Álgebra Linear, definição de matriz positiva definida e relação com autovalores.
O que vamos precisar:
  • Saber o que significa “matriz positiva definida”.
  • Entender a ligação entre ser positiva definida e ter todos os autovalores positivos.

Passo 2

Definição de matriz positiva definida (PD):
Uma matriz real simétrica x^T A x ;>; 0 é dita positiva definida se, para todo vetor não nulo A é PD Long<=ftrightarrow todos os autovalores de A são >0 ,
Teorema importante: para matrizes simétricas, isso acontece se e somente se todos os autovalores de forem positivos. Em outras palavras,
éã

Passo 3

Vamos olhar os autovalores dados:
3,,-1,,2
Aqui vemos que e , mas . Logo nem todos são positivos.

Resposta

FALSO. Como um dos autovalores é (negativo), não pode ser positiva definida.

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