Responda verdadeiro ou falso (e justifique):
Os autovalores de
são:
. Então
é positiva definida.
Os autovalores de
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma matriz
cujos autovalores são
. A questão é: “Então
é positiva definida?”
Conteúdo: Álgebra Linear, definição de matriz positiva definida e relação com autovalores.
O que vamos precisar:
Conteúdo: Álgebra Linear, definição de matriz positiva definida e relação com autovalores.
O que vamos precisar:
- Saber o que significa “matriz positiva definida”.
- Entender a ligação entre ser positiva definida e ter todos os autovalores positivos.
Passo 2
Definição de matriz positiva definida (PD):
Uma matriz real simétrica é dita positiva definida se, para todo vetor não nulo
,
Uma matriz real simétrica
Teorema importante: para matrizes simétricas, isso acontece se e somente se todos os autovalores de
forem positivos. Em outras palavras,
Passo 3
Vamos olhar os autovalores dados:
Aqui vemos que
e
, mas
. Logo nem todos são positivos.
Resposta
FALSO. Como um dos autovalores é
(negativo),
não pode ser positiva definida.