Dada a tabela a seguir, calcule
usando um polinômio de interpolação sobre 3 pontos pela forma de Lagrange.
2.4
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
3.6
3.8
11.02
13.46
16.44
20.08
24.53
29.96
36.59
44.70
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2.4 | 2.6 | 2.8 | 3.0 | 3.2 | 3.4 | 3.6 | 3.8 |
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11.02 | 13.46 | 16.44 | 20.08 | 24.53 | 29.96 | 36.59 | 44.70 |
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule
usando um polinômio de interpolação sobre 3 pontos pela forma de Lagrange. A tabela fornecida é (copiei os dados da tabela do enunciado):
Informações relevantes que vou usar:
- Valor a estimar:
. - Vou escolher 3 pontos do quadro mais próximos de
. Esses pontos são , e — peguei esses valores da tabela. - A forma de Lagrange para 3 pontos (polinômio quadrático) será usada para obter
, minha aproximação de .
Passo 2
Apresento a fórmula de Lagrange para 3 pontos: dado pontos
,
,
, o polinômio interpolador de grau
é
onde as bases de Lagrange são
Explicando: cada
é construído para valer
em
e
nos outros
(
), garantindo que
. Aqui
é o valor da função no ponto
.
Vou aplicar isso com
e avaliar em
.
Passo 3
Calculo primeiro os denominadores das
(são constantes dependentes apenas dos
):
Anote: os denominadores aparecem nos respectivos
.
Passo 4
Agora calculo os numeradores das
em
e obtenho cada
.
Para
:
Logo
Para
:
Logo
Para
:
Logo
Verificação rápida (útil para se confortar):
, como esperado (as
somam 1 em qualquer
).
Passo 5
Multiplico cada
pelo
correspondente e somo para obter
.
Calculemos termo a termo (usei os
que tirei da tabela):
Somando:
Assim o polinômio de Lagrange de grau 2 que interpola os três pontos dá a aproximação
Passo 6
Comentário final de confiança (rápido): escolhendo os três pontos centrados em torno de
(distâncias iguais de
e
em relação ao ponto central
), obtivemos um interpolador quadrático. A soma das bases sendo
e a proximidade dos pontos garantem uma boa aproximação; o erro real aqui é pequeno (comparando com o valor exato
, o erro ficou em torno de
).