Dada a tabela a seguir, calcule e^{3.15} usando um polinômio de interpolação sobre 3 pontos pela forma de Lagrange.
x 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
\mathrm{e}^{x} 11.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule \mathrm{e}^{3,15} usando um polinômio de interpolação sobre 3 pontos pela forma de Lagrange. A tabela fornecida é (copiei os dados da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccccc} x & 2,4 & 2,6 & 2,8 & 3,0 & 3,2 & 3,4 & 3,6 & 3,8\\hline \mathrm{e}^{x} & 11,02 & 13,46 & 16,44 & 20,08 & 24,53 & 29,96 & 36,59 & 44,70 \end{array}
Informações relevantes que vou usar:
  • Valor a estimar: x^*=3,15.
  • Vou escolher 3 pontos do quadro mais próximos de x^*=3,15. Esses pontos são (3,0,\,20,08), (3,2,\,24,53) e (3,4,\,29,96) — peguei esses valores da tabela.
  • A forma de Lagrange para 3 pontos (polinômio quadrático) será usada para obter P(3,15), minha aproximação de \mathrm{e}^{3,15}.

Passo 2

Apresento a fórmula de Lagrange para 3 pontos: dado pontos (x_0,y_0), (x_1,y_1), (x_2,y_2), o polinômio interpolador de grau \le 2 é
P(x)=y_0\,\ell_0(x)+y_1\,\ell_1(x)+y_2\,\ell_2(x),
onde as bases de Lagrange são
\ell_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)},\qquad \ell_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)},\qquad \ell_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}.
Explicando: cada \ell_i(x) é construído para valer 1 em x=x_i e 0 nos outros x_j ( j\neq i), garantindo que P(x_i)=y_i. Aqui y_i é o valor da função no ponto x_i.
Vou aplicar isso com
x_0=3,0,\; y_0=20,08;\qquad x_1=3,2,\; y_1=24,53;\qquad x_2=3,4,\; y_2=29,96
e avaliar em x=3,15.

Passo 3

Calculo primeiro os denominadores das \ell_i (são constantes dependentes apenas dos x_i):
(x_0-x_1)(x_0-x_2)=(3,0-3,2)(3,0-3,4)=(-0,2)(-0,4)=0,08.
(x_1-x_0)(x_1-x_2)=(3,2-3,0)(3,2-3,4)=(0,2)(-0,2)=-0,04.
(x_2-x_0)(x_2-x_1)=(3,4-3,0)(3,4-3,2)=(0,4)(0,2)=0,08.
Anote: os denominadores aparecem nos respectivos \ell_0,\ell_1,\ell_2.

Passo 4

Agora calculo os numeradores das \ell_i em x=3,15 e obtenho cada \ell_i(3,15).
Para \ell_0(3,15):
\text{numerador}=(3,15-3,2)(3,15-3,4)=(-0,05)(-0,25)=0,0125.
Logo
\ell_0(3,15)=\frac{0,0125}{0,08}=0,15625.
Para \ell_1(3,15):
\text{numerador}=(3,15-3,0)(3,15-3,4)=(0,15)(-0,25)=-0,0375.
Logo
\ell_1(3,15)=\frac{-0,0375}{-0,04}=0,9375.
Para \ell_2(3,15):
\text{numerador}=(3,15-3,0)(3,15-3,2)=(0,15)(-0,05)=-0,0075.
Logo
\ell_2(3,15)=\frac{-0,0075}{0,08}=-0,09375.
Verificação rápida (útil para se confortar): 0,15625+0,9375-0,09375=1, como esperado (as \ell_i somam 1 em qualquer x).

Passo 5

Multiplico cada \ell_i(3,15) pelo y_i correspondente e somo para obter P(3,15).
Calculemos termo a termo (usei os y_i que tirei da tabela):
y_0\,\ell_0(3,15)=20,08\cdot 0,15625=3,1375,
y_1\,\ell_1(3,15)=24,53\cdot 0,9375=22,996875,
y_2\,\ell_2(3,15)=29,96\cdot(-0,09375)=-2,80875.
Somando:
P(3,15)=3,1375+22,996875-2,80875=23,325625.
Assim o polinômio de Lagrange de grau 2 que interpola os três pontos dá a aproximação
\mathrm{e}^{3,15}\approx P(3,15)=23,325625.

Passo 6

Comentário final de confiança (rápido): escolhendo os três pontos centrados em torno de 3,15 (distâncias iguais de 0,15 e 0,05 em relação ao ponto central 3,2), obtivemos um interpolador quadrático. A soma das bases sendo 1 e a proximidade dos pontos garantem uma boa aproximação; o erro real aqui é pequeno (comparando com o valor exato \mathrm{e}^{3,15}\approx 23,341, o erro ficou em torno de -0,0154).

Resposta

\mathrm{e}^{3,15}\approx 23,325625

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