Exercício: seja
Calcule
e
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e pede para calcular as normas
,
,
e
.
Informações relevantes que temos: os componentes de são
. Não há restrição adicional. A tarefa é apenas calcular os quatro números correspondentes às normas pedidas.
Informações relevantes que temos: os componentes de
Passo 2
Vou explicar a definição geral que vamos usar (aula rápida, sem medo): para um vetor
e
a norma
-ésima (norma
) é dada por
onde
é o valor absoluto de
. Aqui cada termo
significa que primeiro tiramos o módulo (não importa o sinal), depois elevamos à potência
. Para a norma do infinito, a definição é diferente: para
,
ou seja, o maior valor absoluto entre as componentes. Essas fórmulas são as que usaremos.
Passo 3
Primeiro pego os valores absolutos das componentes de
, porque todas as normas dependem deles:
Portanto os módulos são
. Guarde essa lista — é o que precisamos somar em várias potências.
Passo 4
Calculando
: pela definição com
,
Agora somamos passo a passo:
Logo
Passo 5
Calculando
(a norma euclidiana): para
,
Elevamos cada módulo ao quadrado e somamos:
Somando:
Portanto
Observação prática:
é a forma exata; em prova normalmente é aceitável deixar assim (ou aproximar se pedirem).
Passo 6
Calculando
: aqui
,
Calculo as potências quarta das componentes (uso os módulos já listados):
Agora somo:
Logo
Novamente, a forma exata é
.
Passo 7
Calculando
: usamos a definição do máximo dos módulos. Dos módulos
o maior é
. Portanto
Breve comentário de consolação: faz sentido que
seja o menor entre essas normas e
o maior, porque para vetores em dimensão finita, conforme
aumenta a norma tende a diminuir (intuição: p grandes favorecem o maior componente).
Passo 8
Recapitulando os resultados exatos (sem aproximações numéricas): já temos tudo pronto para a resposta final.