Exercício: seja
\vec{v}=(1,4,-8,2,-5) .
Calcule \|\vec{v}\|_{1},\|\vec{v}\|_{2},\|\vec{v}\|_{4} e \|\vec{v}\|_{\infty}

Passo 1

O enunciado dá o vetor
\vec{v}=(1,4,-8,2,-5)
e pede para calcular as normas \|\vec{v}\|_{1}, \|\vec{v}\|_{2}, \|\vec{v}\|_{4} e \|\vec{v}\|_{\infty}.
Informações relevantes que temos: os componentes de \vec{v} são 1,4,-8,2,-5. Não há restrição adicional. A tarefa é apenas calcular os quatro números correspondentes às normas pedidas.

Passo 2

Vou explicar a definição geral que vamos usar (aula rápida, sem medo): para um vetor \vec{x}=(x_1,\dots,x_n) e p\ge1 a norma p-ésima (norma \ell_p) é dada por
\|\vec{x}\|_{p}=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i|^{p}\right)^{1/p},
onde |x_i| é o valor absoluto de x_i. Aqui cada termo |x_i|^{p} significa que primeiro tiramos o módulo (não importa o sinal), depois elevamos à potência p. Para a norma do infinito, a definição é diferente: para \vec{x}=(x_1,\dots,x_n),
\|\vec{x}\|_{\infty}=\max\{|x_1|,\dots,|x_n|\},
ou seja, o maior valor absoluto entre as componentes. Essas fórmulas são as que usaremos.

Passo 3

Primeiro pego os valores absolutos das componentes de \vec{v}, porque todas as normas dependem deles:
|1|=1,\quad |4|=4,\quad |-8|=8,\quad |2|=2,\quad |-5|=5.
Portanto os módulos são 1,4,8,2,5. Guarde essa lista — é o que precisamos somar em várias potências.

Passo 4

Calculando \|\vec{v}\|_{1}: pela definição com p=1,
\|\vec{v}\|_{1}=\sum_{i=1}^{5}|v_i|=1+4+8+2+5.
Agora somamos passo a passo:
1+4=5,\quad 5+8=13,\quad 13+2=15,\quad 15+5=20.
Logo
\|\vec{v}\|_{1}=20.

Passo 5

Calculando \|\vec{v}\|_{2} (a norma euclidiana): para p=2,
\|\vec{v}\|_{2}=\left(\sum_{i=1}^{5}|v_i|^{2}\right)^{1/2}.
Elevamos cada módulo ao quadrado e somamos:
1^{2}=1,\quad 4^{2}=16,\quad 8^{2}=64,\quad 2^{2}=4,\quad 5^{2}=25.
Somando:
1+16=17,\quad 17+64=81,\quad 81+4=85,\quad 85+25=110.
Portanto
\|\vec{v}\|_{2}=\sqrt{110}.
Observação prática: \sqrt{110} é a forma exata; em prova normalmente é aceitável deixar assim (ou aproximar se pedirem).

Passo 6

Calculando \|\vec{v}\|_{4}: aqui p=4,
\|\vec{v}\|_{4}=\left(\sum_{i=1}^{5}|v_i|^{4}\right)^{1/4}.
Calculo as potências quarta das componentes (uso os módulos já listados):
1^{4}=1,\quad 4^{4}=256,\quad 8^{4}=4096,\quad 2^{4}=16,\quad 5^{4}=625.
Agora somo:
1+256=257,\quad 257+4096=4353,\quad 4353+16=4369,\quad 4369+625=4994.
Logo
\|\vec{v}\|_{4}=\sqrt[4]{4994}.
Novamente, a forma exata é \sqrt[4]{4994}.

Passo 7

Calculando \|\vec{v}\|_{\infty}: usamos a definição do máximo dos módulos. Dos módulos 1,4,8,2,5 o maior é 8. Portanto
\|\vec{v}\|_{\infty}=8.
Breve comentário de consolação: faz sentido que \|\vec{v}\|_{\infty} seja o menor entre essas normas e \|\vec{v}\|_{1} o maior, porque para vetores em dimensão finita, conforme p aumenta a norma tende a diminuir (intuição: p grandes favorecem o maior componente).

Passo 8

Recapitulando os resultados exatos (sem aproximações numéricas): já temos tudo pronto para a resposta final.

Resposta

\|\vec{v}\|_{1}=20
\|\vec{v}\|_{2}=\sqrt{110}
\|\vec{v}\|_{4}=\sqrt[4]{4994}
\|\vec{v}\|_{\infty}=8

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