Para as seguintes funções, determine f(x) e g(x):
f(x)=|x-4| sin x, g(x)=xx+1

Passo 1

Beleza, o que o enunciado pede é achar as derivadas das duas funções:

  1. O tema é Cálculo Diferencial:
  • Pra vamos usar a regra do produto e a derivada de valor absoluto (regra da cadeia para , sabendo que ).
  • Pra vamos usar a regra do quociente.

Passo 2

Derivando +1,&x>4,-1,&x<4:
  1. Primeiro a parte do valor absoluto:
    , onde
  2. Regra do produto ( f'(x) = u',v + u,v' = sgn(x-4),sin x ;+; |x-4|,cos x ):
    seja f'(x)= sin x + (x-4)cos x, & x>4, -sin x + (4-x)cos x, & x<4 , .
    Então
Em forma piecewise dá
Observação: em não existe derivada porque a pula de pra .

Passo 3

Derivando g'(x) = 1cdot(x+1) - xcdot1(x+1)^2 = x+1 - x(x+1)^2 = 1(x+1)^2, pela regra do quociente
:

  • Logo
válido para .

Resposta

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