Um pêndulo balançando em um plano vertical sob a influência da gravidade satisfaz o sistema
l (m1+m2) l1^2 d^2 theta1d t^2+m2 l1 l2 d^2 theta2d t^2+(m1+m2) l1 g theta1=0 m2 l2^2 d^2 theta2d t^2+m2 l1 l2 d^2 theta1d t^2+m2 l2 g theta2=0
Quando os ângulos theta1 e theta2 são pequenos. Considerando m1=3 kg, m2=2 kg, l1=l2= 5 m, theta1(0)=pi6, theta1^prime(0)=0, theta2(0)=0 e theta2^prime(0)=0. Obtenha uma aproximação para theta1(0.2) e theta2(0.2), utilizando n p=2, via Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem. Trabalhe com 5 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos um pêndulo duplo que, para pequenos ângulos, leva ao sistema de EDOs lineares de segunda ordem:
(m1+m2),l1^2,theta1'' + m2,l1,l2,theta2'' + (m1+m2),l1,g,theta1 = 0, m2,l2^2,theta2'' + m2,l1,l2,theta1'' + m2,l2,g,theta2 = 0
Com , , , , e condições iniciais , , , .
Conteúdo: sistemas de EDO e Método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4).
O que vamos precisar:
  1. transformar em sistema de 1ª ordem,
  2. achar as expressões , ,
  3. aplicar RK4 com passo duas vezes ( ).

Passo 2

Transformando em 1ª ordem, definimos:
x1=theta1, x2=theta1', x3=theta2, x4=theta2'
Aí o sistema vira
x1' = x2, x2' = f2(x1,x3), x3' = x4, x4' = f4(x1,x3),
onde, ao resolver o sistema original, encontramos as constantes
A=(m1+m2)l1^2=125,; B=m2l1l2=50,; C=(m1+m2)l1g=245.25,
D=m2l2^2=50,; E=m2l2g=98.1,; De
E as acelerações ficam
theta1''=-CD,theta1 + BE,theta2De
theta2''=-AE,theta2 + BC,theta1De
Logo
f2(x1,x3)=-3.270,x1+1.308,x3, f4(x1,x3)=3.270,x1-3.270,x3

Passo 3

Escrevendo o vetor k1=f(t,x), k2=fl(t+tfrac h2,;x+tfrac h2,k1r), k3=fl(t+tfrac h2,;x+tfrac h2,k2r), k4=fl(t+h,;x+h,k3r), com xrm novo=x+ h6,(k1+2k2+2k3+k4) e passo , vamos iterar o RK4 duas vezes. Para cada passo computamos:
depois

Passo 4

Primeiro passo ( x(0.1)approx(0.51507,,-0.16994,;0.008515,;0.16937) a ):
usando (aí ), calculamos todos os e obtemos, no fim,

Passo 5

Segundo passo ( x(0.2)approx(0.48987,,-0.33214,;0.03351,;0.32772) a ) usando acima, repetimos o RK4 e achamos

Resposta

theta1(0.2)approx 0.48987, theta2(0.2)approx 0.03351

Exercícios relacionados