Um pêndulo balançando em um plano vertical sob a influência da gravidade satisfaz o sistema
Quando os ângulos e são pequenos. Considerando e . Obtenha uma aproximação para e , utilizando , via Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem. Trabalhe com 5 casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos um pêndulo duplo que, para pequenos ângulos, leva ao sistema de EDOs lineares de segunda ordem:
Com , , , , e condições iniciais , , , .
Conteúdo: sistemas de EDO e Método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4).
O que vamos precisar:
transformar em sistema de 1ª ordem,
achar as expressões , ,
aplicar RK4 com passo duas vezes ().
Passo 2
Transformando em 1ª ordem, definimos:
Aí o sistema vira
onde, ao resolver o sistema original, encontramos as constantes
Escrevendo o vetor k1=f(t,x), k2=fl(t+tfrac h2,;x+tfrac h2,k1r), k3=fl(t+tfrac h2,;x+tfrac h2,k2r), k4=fl(t+h,;x+h,k3r), com xrm novo=x+ h6,(k1+2k2+2k3+k4) e passo , vamos iterar o RK4 duas vezes. Para cada passo computamos:
depois
Passo 4
Primeiro passo ( x(0.1)approx(0.51507,,-0.16994,;0.008515,;0.16937) a ):
usando (aí ), calculamos todos os e obtemos, no fim,
Passo 5
Segundo passo ( x(0.2)approx(0.48987,,-0.33214,;0.03351,;0.32772) a ) usando acima, repetimos o RK4 e achamos