Considerando o exercício anterior, se g=9.8, gamma=0.5, m=2, x(0)=2, x^prime(0)=1, y(0)=1 e y^prime(0)=2, obtenha uma aproximação para x(0.3), y(0.3) via Método de Euler Melhorado. Utilize 3 passos e trabalhe com 4 casas decimais.

Passo 1

Então, mano, o exercício é sobre um projetil com arrasto linear (força proporcional à velocidade) caindo sob a gravidade. As equações de movimento são:
x' = vx, vx' = -dfracgammam,vx, y' = vy, vy' = -g - dfracgammam,vy,
com x(0)=2,;vx(0)=1,;y(0)=1,;vy(0)=2 , , (logo ).
As condições iniciais são
A ideia é usar o Método de Euler Melhorado (Heun) de passo pra chegar em com 3 sub-intervalos. A cada passo a gente calcula:
  1. os “slopes” iniciais ,
  2. faz o chute (preditor),
  3. calcula lá no chute,
  4. e combina e .

Passo 2

Passo 1 do método (de k1,x&=vx=1, k1,vx&=-0.25cdot1=-0.25, k1,y&=vy=2, k1,vy&=-9.8-0.25cdot2=-10.3 a x^p&=2+0.1cdot1 =2.1, & vx^p&=1+0.1cdot(-0.25)=0.975, y^p&=1+0.1cdot2 =1.2, & vy^p&=2+0.1cdot(-10.3)=0.97 ).
  1. No ponto inicial k2,x&=0.975, & k2,vx&=-0.25cdot0.975=-0.24375, k2,y&=0.97, & k2,vy&=-9.8-0.25cdot0.97=-10.0425 , calculamos os slopes:
x1&=2+0.11+0.9752=2.0988, vx,1&=1+0.1-0.25-0.243752=0.9753, y1&=1+0.12+0.972=1.1485, vy,1&=2+0.1-10.3-10.04252=0.9829
  1. Fazemos o preditor com :
  1. No chute, novos slopes :
  1. Atualizamos pelas médias:

Passo 3

Passo 2 do método (de k1,x&=0.9753, & k1,vx&=-0.25cdot0.9753=-0.2438, k1,y&=0.9829, & k1,vy&=-9.8-0.25cdot0.9829=-10.0457 a x^p&=2.0988+0.1cdot0.9753=2.1963, & vx^p&=0.9753+0.1cdot(-0.2438)=0.9509, y^p&=1.1485+0.1cdot0.9829=1.2468, & vy^p&=0.9829+0.1cdot(-10.0457)=-0.0217 ).
  1. Em k2,x&=0.9509, & k2,vx&=-0.25cdot0.9509=-0.2377, k2,y&=-0.0217, & k2,vy&=-9.8-0.25cdot(-0.0217)=-9.7946 :
x2&=2.0988+0.10.9753+0.95092=2.1951, vx,2&=0.9753+0.1-0.2438-0.23772=0.9512, y2&=1.1485+0.10.9829-0.02172=1.1966, vy,2&=0.9829+0.1-10.0457-9.79462=-0.0091
  1. Preditor:
  1. Slopes no chute:
  1. Atualizamos:

Passo 4

Passo 3 do método (de k1,x&=0.9512, & k1,vx&=-0.25cdot0.9512=-0.2378, k1,y&=-0.0091, & k1,vy&=-9.8-0.25cdot(-0.0091)=-9.7977 a x^p&=2.1951+0.1cdot0.9512=2.2902, & vx^p&=0.9512+0.1cdot(-0.2378)=0.9274, y^p&=1.1966+0.1cdot(-0.0091)=1.1956, & vy^p&=-0.0091+0.1cdot(-9.7977)=-0.9889 ).
  1. Em k2,x&=0.9274, & k2,vx&=-0.25cdot0.9274=-0.2319, k2,y&=-0.9889, & k2,vy&=-9.8-0.25cdot(-0.9889)=-9.5528 :
x3&=2.1951+0.10.9512+0.92742=2.2890, y3&=1.1966+0.1-0.0091-0.98892=1.1467
  1. Preditor:
  1. Slopes no chute:
  1. Atualizamos pra chegar em :

Resposta

As aproximações finais em boxedx(0.3)=2.2890, y(0.3)=1.1467 são

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