A seguir, temos as distâncias (em metros) percorridas por um veículo em cada período de tempo t (em segundos). Encontre o polinômio interpolador e a previsão para a distância percorrida em 3,5 s.
t 0 10 20
s(t) 0 237 689

Passo 1

Beleza, então o enunciado dá 3 pontos do movimento do carro: em t=0, s=0; em t=10, s=237; em t=20, s=689. A tarefa é achar o polinômio interpolador de grau <=2 que passe por esses pontos e usar esse polinômio pra prever s(3.5).
Conteúdo: interpolação polinomial (vamos usar a forma de Lagrange). Você vai precisar só da fórmula de Lagrange para montar os “pesos” e somar.

Passo 2

Teoria rápida de Lagrange: para pontos (t0,s0),,(t1,s1),,(t2,s2) existe
P(t)=sumi=0^2 si,elli(t),
onde
elli(t)=prodjneq it-tjti-tj
Aqui temos (t0,s0)=(0,0), (t1,s1)=(10,237), (t2,s2)=(20,689).

Passo 3

Calcular cada base de Lagrange:
ell0(t)=(t-10)(t-20)(0-10)(0-20) =(t-10)(t-20)200,
ell1(t)=(t-0)(t-20)(10-0)(10-20) =t,(t-20)10cdot(-10) =-t,(t-20)100,
ell2(t)=(t-0)(t-10)(20-0)(20-10) =t,(t-10)20cdot10 =t,(t-10)200

Passo 4

Agora o polinômio:
P(t)=0cdotell0(t)+237cdotell1(t)+689cdotell2(t)
Substituindo:
P(t) =237l(-t(t-20)100r) +689l(t(t-10)200r)
Vamos expandir:
  • Primeiro termo: -237100,(t^2-20t)=-2.37t^2+47.4t.
  • Segundo termo: 689200,(t^2-10t)=3.445t^2-34.45t.
    Somando:
P(t)=(3.445-2.37)t^2+(47.4-34.45)t =1.075,t^2+12.95,t

Passo 5

Falta a previsão em t=3.5:
P(3.5)=1.075cdot(3.5)^2+12.95cdot3.5
Calculemos: (3.5)^2=12.25, então
1.075cdot12.25=13.16875, 12.95cdot3.5=45.325,
logo
P(3.5)=13.16875+45.325=58.49375 m

Resposta

Polinômio interpolador:
P(t)=1.075,t^2+12.95,t
Previsão da distância em t=3.5,s:
$

Exercícios relacionados