A seguir, temos as distâncias (em metros) percorridas por um veículo em cada período de tempo t (em segundos). Encontre o polinômio interpolador e a previsão para a distância percorrida em 3,5 s.
t 1 2 3 4
s(t) 18 40 66 90

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a gente tem quatro pontos (t,s(t))=(1,18),(2,40),(3,66),(4,90) e quer dois troços:
  1. O polinômio interpolador desses pontos (ou seja, um polinômio de grau ≤3 que passe exatamente por eles).
  2. A previsão da distância em ,s.
Matéria envolvida: interpolação polinomial (no nosso caso, usaremos o método de Newton com diferenças finitas).
O que vamos precisar:
  • Montar a tabela de diferenças finitas.
  • Usar a fórmula do polinômio de Newton para nós equi-espaçados.
  • Expandir (se quisermos) e avaliar em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender e calcular as diferenças finitas. A ideia básica é que, para pontos em que os s0&=18,;s1=40,;s2=66,;s3=90, De crescem de 1 em 1, podemos definir:
De
Vamos lá:
Como , o polinômio é de grau 3 (terceira diferença não é zero, a próxima seria constante).

Passo 3

Agora a fórmula de Newton para nós equi-espaçados ( P(t)=s0+De) é:
P(t)&=18+22,(t-1)+42!(t-1)(t-2)+-63!(t-1)(t-2)(t-3) &=18+22(t-1)+2,(t-1)(t-2)-1,(t-1)(t-2)(t-3)
Aqui , , . Substituindo os valores que achamos:

Passo 4

Se a gente quiser escrever na forma padrão &18+22(t-1)+2(t^2-3t+2)-(t^3-6t^2+11t-6) &=-t^3+(2+6)t^2+(22-6-11)t+(18-22+4+6) &=-t^3+8t^2+5t+6 , é só expandir:

Passo 5

Por fim, a previsão em P(3,5)&=-(3,5)^3+8,(3,5)^2+5,(3,5)+6 &=-42,875+8cdot12,25+17,5+6 &approx78,625;metros é só avaliar :

Resposta

Polinômio interpolador:
boxedP(t)=-t^3+8t^2+5t+6
Previsão em boxedP(3,5)=78,625 m :

Exercícios relacionados