A seguir, temos as distâncias (em metros) percorridas por um veículo em cada período de tempo
(em segundos). Encontre o polinômio interpolador e a previsão para a distância percorrida em 3,5 s.
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1 | 2 | 3 | 4 |
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18 | 40 | 66 | 90 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a gente tem quatro pontos
e quer dois troços:
- O polinômio interpolador desses pontos (ou seja, um polinômio de grau ≤3 que passe exatamente por eles).
- A previsão da distância em
,s.
Matéria envolvida: interpolação polinomial (no nosso caso, usaremos o método de Newton com diferenças finitas).
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Montar a tabela de diferenças finitas.
- Usar a fórmula do polinômio de Newton para nós equi-espaçados.
- Expandir (se quisermos) e avaliar em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender e calcular as diferenças finitas. A ideia básica é que, para pontos em que os
crescem de 1 em 1, podemos definir:
Vamos lá:
Como
, o polinômio é de grau 3 (terceira diferença não é zero, a próxima seria constante).
Passo 3
Agora a fórmula de Newton para nós equi-espaçados (
) é:
Aqui
,
,
. Substituindo os valores que achamos:
Passo 4
Se a gente quiser escrever na forma padrão
, é só expandir:
Passo 5
Por fim, a previsão em
é só avaliar
:
Resposta
Polinômio interpolador:
Previsão em
: