A seguir, temos as distâncias (em metros) percorridas por um veículo em cada período de tempo t (em segundos). Encontre o polinômio interpolador e a previsão para a distância percorrida em 3,5 s.
t 0 2 4 6 8
s(t) 0 50 110 160 200

Passo 1

Então, a parada é a seguinte: temos cinco pontos com tempo t (em s) e distância s(t) (em m)
c|ccccc t & 0 & 2 & 4 & 6 & 8hline s(t) & 0 & 50 & 110 & 160 & 200
O conteúdo aqui é Interpolação Polinomial (a gente vai achar um polinômio que “passa” direitinho por esses pontos) e, depois, usar esse polinômio pra prever s(3,5).
Pra resolver a gente vai:
  1. Montar a tabela de diferenças divididas (método de Newton).
  2. Escrever o polinômio interpolador em forma de Newton.
  3. Avaliar esse polinômio em t=3,5.

Passo 2

Vamos fazer a tabela de diferenças divididas. Chamamos os tempos de t0=0, t1=2, t2=4, t3=6, t4=8, e fi = s(ti).
  1. Ordens zeroth:
f[t0]=0,;f[t1]=50,;f[t2]=110,;f[t3]=160,;f[t4]=200
  1. Primeira ordem:
f[ti,ti+1]=f[ti+1]-f[ti]ti+1-ti
Logo
f[t0,t1]=tfrac50-02=25,; f[t1,t2]=tfrac110-502=30,; f[t2,t3]=tfrac160-1102=25,; f[t3,t4]=tfrac200-1602=20
  1. Segunda ordem:
f[t0,t1,t2]=30-254-0=tfrac54, f[t1,t2,t3]=25-306-2=-tfrac54, f[t2,t3,t4]=20-258-4=-tfrac54
  1. Terceira ordem:
f[t0,dots,t3]=-tfrac54-tfrac546-0=-tfrac5/26=-tfrac512, f[t1,dots,t4]=-tfrac54-(-tfrac54)8-2=0
  1. Quarta ordem:
f[t0,dots,t4] =0-(-tfrac512)8-0 =5/128 =596

Passo 3

O polinômio de Newton fica (com base nessas diferenças):
P(t)= f[t0] +f[t0,t1](t-t0) +f[t0,t1,t2](t-t0)(t-t1) +f[t0,dots,t3](t-t0)(t-t1)(t-t2) +f[t0,dots,t4](t-t0)(t-t1)(t-t2)(t-t3)
Substituindo os valores:
P(t)=0 +25,t +tfrac54,t(t-2) -tfrac512,t(t-2)(t-4) +tfrac596,t(t-2)(t-4)(t-6)

Passo 4

Agora, para prever a distância em t=3,5, basta pôr t=3,5 em P(t):
P(3,5)&=25cdot3,5 +tfrac54cdot3,5,(3,5-2) -tfrac512cdot3,5,(3,5-2),(3,5-4) &+tfrac596cdot3,5,(3,5-2),(3,5-4),(3,5-6) &approx 87,5;+;6,5625;+;1,09375;+;0,3413 &approx 95,4976;metros

Resposta

O polinômio interpolador em forma de Newton é
P(t)=25t+tfrac54,t(t-2)-tfrac512,t(t-2)(t-4)+tfrac596,t(t-2)(t-4)(t-6),
e a previsão para s(3,5) é aproximadamente
boxed95,50 m

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