As tabelas a seguir apresentam as quantidades de horas extras h acumuladas de cada funcionário de uma construtora. Encontre o polinômio interpolador e a previsão solicitada.
João trabalhou 2 dias seguidos, folgou o terceiro e trabalhou no quarto dia. Quantas horas extras ele teria feito se não folgasse o 3^circ dia?
x (dias) 1 2 4
h 1 2,5 4,5

Passo 1

Beleza, o exercício dá as horas extras acumuladas em três dias:
  • no dia 1, h(1)=1
  • no dia 2, h(2)=2,5
  • no dia 4, h(4)=4,5
A gente quer achar o polinômio interpolador de grau até 2 que passe por esses pontos e, a partir dele, prever h(3). Esse assunto é “interpolação polinomial” e vamos usar a fórmula de Lagrange, que monta o polinômio direto dos pontos dados.

Passo 2

Teoria em modo amigo: com 3 pontos (x0,y0), (x1,y1) e (x2,y2) existe um único polinômio quadrático
P(x)=y0,L0(x)+y1,L1(x)+y2,L2(x)
onde cada base de Lagrange é
Li(x)=prodjneq ix-xjxi-xj,
Na prática isso faz com que Li(xj)=de (1 se i=j, 0 caso contrário), garantindo que P(xi)=yi.

Passo 3

Vamos identificar:
x0=1,;y0=1; x1=2,;y1=2,5; x2=4,;y2=4,5
Então:
L0(x)=(x-2)(x-4)(1-2)(1-4)=(x-2)(x-4)(-1)(-3)=(x-2)(x-4)3,
L1(x)=(x-1)(x-4)(2-1)(2-4)=(x-1)(x-4)1cdot(-2)=-(x-1)(x-4)2,
L2(x)=(x-1)(x-2)(4-1)(4-2)=(x-1)(x-2)3cdot2=(x-1)(x-2)6

Passo 4

Agora formamos
P(x)=1cdot L0(x)+2,5cdot L1(x)+4,5cdot L2(x)
Vamos montar termo a termo:
1) 1cdot L0(x)=x^2-6x+83=13x^2-2x+83.
2) 2,5cdot L1(x)=-2,52(x^2-5x+4)=-1,25x^2+6,25x-5.
3) 4,5cdot L2(x)=4,56(x^2-3x+2)=0,75x^2-2,25x+1,5.
Somando tudo:
P(x)=l(tfrac13-1,25+0,75r)x^2+l(-2+6,25-2,25r)x+l(tfrac83-5+1,5r)
;;=l(-tfrac16r)x^2+2x-tfrac56

Passo 5

Pra ver quanto seria em x=3, só plug na fórmula:
P(3)=-tfrac16cdot9 ;+;2cdot3;-;tfrac56=-tfrac96+6-tfrac56=-tfrac146+6=tfrac113approx3,67

Resposta

Se João não folgasse no 3º dia, ele teria acumulado cerca de 113approx3,67 horas extras.

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