6 Segundo uma estimativa realizada pela ONU a população global da Terra será de 8.5 bilhões em 2030; 9.7 bilhões em 2050; e 10.4 bilhões em 2100. Considerando que em 2022 contabilizamos 8 bilhões de pessoas, utilize um polinômio interpolador de grau 3 para estimar a população da Terra em 2070.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos
(x0,y0)=(2022,8), (x1,y1)=(2030,8,5), (x2,y2)=(2050,9,7), (x3,y3)=(2100,10,4)
e pede um polinômio interpolador de grau 3 para estimar y=P(2070). Aqui o conteúdo é interpolação polinomial de Lagrange, que garante um único polinômio de grau <=3 passando por esses 4 pontos.

Passo 2

Usamos a forma de Lagrange:
Para calculamos cada .

Passo 3

Cálculo dos elli(2070):
ell0(2070) =(2070-2030)(2070-2050)(2070-2100)(2022-2030)(2022-2050)(2022-2100) =40cdot20cdot(-30)(-8)cdot(-28)cdot(-78) approx1,373,
ell1(2070) =(2070-2022)(2070-2050)(2070-2100)(2030-2022)(2030-2050)(2030-2100) =48cdot20cdot(-30)8cdot(-20)cdot(-70) approx-2,5714,
ell2(2070) =(2070-2022)(2070-2030)(2070-2100)(2050-2022)(2050-2030)(2050-2100) =48cdot40cdot(-30)28cdot20cdot(-50) approx2,0571,
ell3(2070) =(2070-2022)(2070-2030)(2070-2050)(2100-2022)(2100-2030)(2100-2050) =48cdot40cdot2078cdot70cdot50 approx0,1407

Passo 4

Agora montamos
P(2070) =8cdot1,373 +8,5cdot(-2,5714) +9,7cdot2,0571 +10,4cdot0,1407 approx10,54

Resposta

A estimativa da população em 2070 pelo polinômio de grau 3 é aproximadamente 10,54 bilhões de pessoas.

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