Seja y=e^2x, a função tabelada abaixo. Usando 2 casas de arredondamento.
x 1 2 3
Y 7,39 54,60 403,42
Use a interpolação polinomial para estimar o valor de y quando x=1,5.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos a função c|ccc x & 1 & 2 & 3hline y & 7,39 & 54,60 & 403,42 tabelada em três pontos:
E a gente quer estimar quando usando interpolação polinomial.
Matéria envolvida: interpolação de Lagrange ou interpolação de Newton (diferenças divididas).
O que precisaremos:
  1. Calcular as diferenças divididas (ou montar os polinômios de Lagrange).
  2. Avaliar o polinômio no ponto .

Passo 2

Vou usar o método das diferenças divididas (Newton) porque ele deixa claro como construir o polinômio passo a passo:
Definimos os pontos
x0=1,;y0=7,39; x1=2,;y1=54,60; x2=3,;y2=403,42
  1. Primeiras diferenças divididas:
f[x0,x1] =y1-y0x1-x0 =54,60-7,392-1 =47,21,
f[x1,x2] =y2-y1x2-x1 =403,42-54,603-2 =348,82
  1. Segunda diferença dividida:
f[x0,x1,x2] =f[x1,x2]-f[x0,x1]x2-x0 =348,82-47,213-1 =301,612 =150,805

Passo 3

O polinômio de Newton de grau 2 fica
P(x) =y0 +f[x0,x1](x-x0) +f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)
Substituindo:
P(x) =7,39 +47,21,(x-1) +150,805,(x-1)(x-2)
Agora avaliamos em P(1,5) =7,39 +47,21cdot(1,5-1) +150,805cdot(1,5-1)(1,5-2) :
47,21cdot0,5=23,605, (1,5-1)(1,5-2)=0,5cdot(-0,5)=-0,25,
Calcular cada termo:
150,805cdot(-0,25)=-37,70125
P(1,5)=7,39+23,605-37,70125=-6,70625
Somando tudo:
Arredondando para duas casas decimais, dá .

Resposta

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