Dados os números {\bar{x}=0,3142 \times 10^{1}} e {\bar{y}=0,2718 \times 10^{1}}, com {\left|E R_{x}\right|<0,5 \times 10^{-3}} e {\left|E R_{y}\right|< 0,5 \times 10^{-3}} :
Calcule {\bar{z}=\bar{x}+\bar{y}} e estime {\left|E R_{z}\right|}

Passo 1

O enunciado fornece os valores aproximados e as estimativas de erro desta forma:
\bar{x}=0,3142\times10^{1},
\bar{y}=0,2718\times10^{1},
\left|E R_{x}\right|<0,5\times10^{-3} e
\left|E R_{y}\right|<0,5\times10^{-3}.
As perguntas são: calcular \bar{z}=\bar{x}+\bar{y} e estimar \left|E R_{z}\right|.

Passo 2

Primeiro converto os números para a forma decimal habitual (isso facilita somar):
\bar{x}=0,3142\times10^{1}=0,3142\cdot10=3,142
\bar{y}=0,2718\times10^{1}=0,2718\cdot10=2,718
Também convém escrever os limites de erro em forma decimal:
\left|E R_{x}\right|<0,5\times10^{-3}=0,0005
\left|E R_{y}\right|<0,5\times10^{-3}=0,0005

Passo 3

Faço a soma das aproximações passo a passo (pode-se somar as mantissas antes de multiplicar por 10^{1}, ou somar os valores decimais já convertidos):
\bar{x}+\bar{y}=3,142+2,718
Somando coluna a coluna:
3,142 +2,718 =\;5,860
Se preferir manter o formato do enunciado (mantissa entre 0{,}1 e 1 vezes 10^{1}), somo as mantissas:
0,3142+0,2718=0,5860\quad\Rightarrow\quad \bar{z}=0,5860\times10^{1}
que é equivalente a \bar{z}=5,860.

Passo 4

Agora a teoria dos erros para soma (explicação didática): seja x o valor verdadeiro e \bar{x} a aproximação, definimos o erro de representação por
E R_{x}=\bar{x}-x,
e semelhante para y. Para z=x+y e sua aproximação \bar{z}=\bar{x}+\bar{y} temos
E R_{z}=\bar{z}-z=(\bar{x}-x)+(\bar{y}-y)=E R_{x}+E R_{y}.
Isto mostra que o erro absoluto na soma é a soma dos erros absolutos com sinal. Para obter uma estimativa de módulo usamos a desigualdade triangular:
\left|E R_{z}\right|=\left|E R_{x}+E R_{y}\right|\le \left|E R_{x}\right|+\left|E R_{y}\right|.
Em palavras: no pior caso, os erros individuais somam-se.

Passo 5

Aplico a fórmula com as cotas dadas:
\left|E R_{z}\right|\le \left|E R_{x}\right|+\left|E R_{y}\right|<0,5\times10^{-3}+0,5\times10^{-3}.
Calculo numérico:
0,5\times10^{-3}+0,5\times10^{-3}=1,0\times10^{-3}=0,001.
Portanto
\left|E R_{z}\right|<1,0\times10^{-3}.

Passo 6

Resumo e observações finais: a soma das aproximações é \bar{z}=0,5860\times10^{1} (equivalente a \bar{z}=5,860). A estimativa conservadora do erro absoluto na soma é \left|E R_{z}\right|<1,0\times10^{-3}. Isso significa que o valor verdadeiro z está dentro do intervalo
\bar{z}\pm 1,0\times10^{-3},
ou seja, entre 5,859 e 5,861 (lembrando que esses números usam vírgula como separador decimal).

Resposta

\bar{z}=0,5860\times10^{1}
\left|E R_{z}\right|<1,0\times10^{-3}

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