Seja ann=1^infty uma sequência de números positivos que converge para 12.
a) ( 0,5 pto) Calcule lim n infty 2 an+1+an+3^-n.
b) (2,0 pts) Determine se a série sumn=1^infty n!n^n a1 a2 ldots an é absolutamente convergente.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem duas coisas:
  • Conteúdo: limites de sequências e teste de convergência de séries (especificamente o teste da raiz).
  • O que precisamos:
    1. Saber que se então qualquer combinação linear simples com constantes segue o mesmo limite, e que .
    2. Entender convergência absoluta de séries e usar o teste da raiz (e pra isso, na parte b, a gente vai usar a aproximação de Stirling pra e a ideia de limite da média geométrica de termos que convergem).

Passo 2

Parte (a):
Queremos
limntoinftyl(2,an+1+an+3^-nr)
Teoria básica de limite de soma e produto: se e , então qualquer combinação . E sabemos também que .

Passo 3

Como 2,an+1to2cdottfrac12=1, antotfrac12, 3^-nto0 , segue que 1 + tfrac12 + 0 = tfrac32 . Logo
Somando:

Passo 4

Parte (b):
A série é
sumn=1^infty n!n^n,a1a2cdots an
Primeiro definimos convergência absoluta: toda série de termos reais positivos que passa no teste da raiz (ou da razão) converge absolutamente se o limite da raiz enésima do termo geral for <1.

Passo 5

Vamos ao teste da raiz. Defina
bn=n!n^n,a1a2cdots an
A raiz enésima é
(bn)^1/n =(n!)^1/nn;1l(a1a2cdots anr)^1/n
Pelas fórmulas de Stirling temos (mais exatamente ).
E como , a média geométrica .

Passo 6

Substituindo no limite:
(bn)^1/n;longrightarrow;n/e,n,;1(1/2) =1ecdot2=2e
E como , o teste da raiz diz que a série converge absolutamente.

Resposta

a) .
b) A série converge absolutamente (porque ).

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