Seja
uma sequência de números positivos que converge para
.
a) ( 0,5 pto) Calcule
.
b)
Determine se a série
é absolutamente convergente.
a) ( 0,5 pto) Calcule
b)
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem duas coisas:
- Conteúdo: limites de sequências e teste de convergência de séries (especificamente o teste da raiz).
- O que precisamos:
- Saber que se
então qualquer combinação linear simples com constantes segue o mesmo limite, e que . - Entender convergência absoluta de séries e usar o teste da raiz (e pra isso, na parte b, a gente vai usar a aproximação de Stirling pra
e a ideia de limite da média geométrica de termos que convergem).
- Saber que se
Passo 2
Parte (a):
Queremos
Queremos
Teoria básica de limite de soma e produto: se
e
, então qualquer combinação
. E sabemos também que
.
Passo 3
Como
, segue que
. Logo
Somando:
Passo 4
Parte (b):
A série é
A série é
Primeiro definimos convergência absoluta: toda série de termos reais positivos que passa no teste da raiz (ou da razão) converge absolutamente se o limite da raiz enésima do termo geral for <1.
Passo 5
Vamos ao teste da raiz. Defina
A raiz enésima é
Pelas fórmulas de Stirling temos
(mais exatamente
).
E como , a média geométrica
.
E como
Passo 6
Substituindo no limite:
E como
, o teste da raiz diz que a série converge absolutamente.
Resposta
a)
.
b) A série converge absolutamente (porque ).
b) A série converge absolutamente (porque