verificar se esse spline cúbico é “normal” (ou seja, spline cúbico natural).
Informações relevantes: os nós (pontos de junção) são x=-1,0,1; em cada subintervalo temos um polinômio cúbico explícito.]
Passo 2
O que significa “spline cúbico” — aula rápida e direta:
Um spline cúbico em uma malha de nós é uma função que, em cada subintervalo entre nós, é um polinômio de grau no máximo 3 (cúbico) e que é globalmente C^{2}: ou seja, a função e suas derivadas primeira e segunda são contínuas em todos os nós interiores.
Assim, para verificar que S é um spline cúbico basta checar: (i) que em cada intervalo é de grau \le 3 (ok por inspeção) e (ii) que em x=0 (único nó interior) a função, S' e S'' têm o mesmo valor à esquerda e à direita.
Também preciso saber o que é “spline cúbico normal (natural)”:
Um spline cúbico natural satisfaz, além do C^{2} nos nós interiores, as condições de contorno naturais: S'' no primeiro nó e S'' no último nó são ambos iguais a zero.
Passo 3
Confirmando que em cada pedaço S é polinomial de grau 3:
Para x\in[-1,0] a expressão é -0,5\,x^{3}+1,5\,x^{2}-1, que é um polinômio de grau 3.
Para x\in[0,1] a expressão é 0,5\,x^{3}+1,5\,x^{2}-1, também polinômio de grau 3.
Portanto a condição de ser “piecewise cubic” está satisfeita.
Passo 4
Calcular derivadas do ramo esquerdo (x\in[-1,0]). Vou derivar termo a termo, lembrando que \frac{d}{dx}(a x^{n}) = a n x^{n-1}.
Verificar continuidade em x=0 (nó interior). Vou avaliar função e derivadas à esquerda e à direita em x=0.
Valores das funções:
S_{L}(0) = -0,5\cdot 0^{3}+1,5\cdot 0^{2}-1 = -1,
S_{R}(0) = 0,5\cdot 0^{3}+1,5\cdot 0^{2}-1 = -1.
Logo \;S_{L}(0)=S_{R}(0)=-1 (continuidade da função).
Valores das derivadas primeiras:
S_{L}'(0) = -1,5\cdot 0^{2}+3\cdot 0 = 0,
S_{R}'(0) = 1,5\cdot 0^{2}+3\cdot 0 = 0.
Logo \;S_{L}'(0)=S_{R}'(0)=0 (continuidade da primeira derivada).
Valores das derivadas segundas:
S_{L}''(0) = -3\cdot 0 + 3 = 3,
S_{R}''(0) = 3\cdot 0 + 3 = 3.
Logo \;S_{L}''(0)=S_{R}''(0)=3 (continuidade da segunda derivada).
Como função, primeira e segunda derivadas coincidem à esquerda e à direita em x=0, S é C^{2} no nó interior.
Passo 7
Conclusão parcial: S é peça por peça um polinômio cúbico e é C^{2} no único nó interior x=0. Portanto S(x) é de fato um spline cúbico definido no intervalo [-1,1] com nós -1,0,1.
Passo 8
Verificar se é spline cúbico natural (“normal”): calcular S'' nos extremos x=-1 e x=1 e checar se são zero.
Já temos fórmulas das segundas derivadas:
S_{L}''(x) = -3x + 3,\qquad S_{R}''(x)=3x+3.
Avaliar em x=-1:
S''(-1)=S_{L}''(-1)= -3(-1)+3 = 3+3 = 6.
Avaliar em x=1:
S''(1)=S_{R}''(1)= 3(1)+3 = 3+3 = 6.
Ambos os valores são \;6, isto é, não são zero.
Passo 9
Conclusão final sobre naturalidade: como S''(-1)=6 e S''(1)=6 (não nulos), a condição de spline cúbico natural (S'' nos extremos igual a zero) não é satisfeita. Portanto S não é um spline cúbico normal (natural).
Resposta
S(x) é um spline cúbico.
S(x) não é um spline cúbico normal (natural).