1. Seja
S(x)= \begin{cases}-0.5 x^{3}+1.5 x^{2}-1, & x \in[-1,0], \\\\ 0.5 x^{3}+1.5 x^{2}-1, & x \in[0,1] .\end{cases}
Verifique se S(x) seja spline cúbico e se o spline cúbico seja normal.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
S(x)= \begin{cases}\,-0,5\,x^{3}+1,5\,x^{2}-1, & x\in[-1,0],\\[4pt] \;0,5\,x^{3}+1,5\,x^{2}-1, & x\in[0,1], \end{cases}
e pede duas verificações:
  1. verificar se S(x) é um spline cúbico;
  2. verificar se esse spline cúbico é “normal” (ou seja, spline cúbico natural).
    Informações relevantes: os nós (pontos de junção) são x=-1,0,1; em cada subintervalo temos um polinômio cúbico explícito.]

Passo 2

O que significa “spline cúbico” — aula rápida e direta:
  • Um spline cúbico em uma malha de nós é uma função que, em cada subintervalo entre nós, é um polinômio de grau no máximo 3 (cúbico) e que é globalmente C^{2}: ou seja, a função e suas derivadas primeira e segunda são contínuas em todos os nós interiores.
  • Assim, para verificar que S é um spline cúbico basta checar: (i) que em cada intervalo é de grau \le 3 (ok por inspeção) e (ii) que em x=0 (único nó interior) a função, S' e S'' têm o mesmo valor à esquerda e à direita.
    Também preciso saber o que é “spline cúbico normal (natural)”:
  • Um spline cúbico natural satisfaz, além do C^{2} nos nós interiores, as condições de contorno naturais: S'' no primeiro nó e S'' no último nó são ambos iguais a zero.

Passo 3

Confirmando que em cada pedaço S é polinomial de grau 3:
  • Para x\in[-1,0] a expressão é -0,5\,x^{3}+1,5\,x^{2}-1, que é um polinômio de grau 3.
  • Para x\in[0,1] a expressão é 0,5\,x^{3}+1,5\,x^{2}-1, também polinômio de grau 3.
    Portanto a condição de ser “piecewise cubic” está satisfeita.

Passo 4

Calcular derivadas do ramo esquerdo ( x\in[-1,0]). Vou derivar termo a termo, lembrando que \frac{d}{dx}(a x^{n}) = a n x^{n-1}.
  • A função: \;S_{L}(x) = -0,5\,x^{3}+1,5\,x^{2}-1.
  • Derivada primeira:
S_{L}'(x)=(-0,5)\cdot 3\,x^{2} + (1,5)\cdot 2\,x = -1,5\,x^{2}+3\,x.
  • Derivada segunda:
S_{L}''(x)=\frac{d}{dx}(-1,5\,x^{2}+3\,x)= -3\,x + 3.

Passo 5

Calcular derivadas do ramo direito ( x\in[0,1]).
  • A função: \;S_{R}(x) = 0,5\,x^{3}+1,5\,x^{2}-1.
  • Derivada primeira:
S_{R}'(x)=(0,5)\cdot 3\,x^{2} + (1,5)\cdot 2\,x = 1,5\,x^{2}+3\,x.
  • Derivada segunda:
S_{R}''(x)=\frac{d}{dx}(1,5\,x^{2}+3\,x)= 3\,x + 3.

Passo 6

Verificar continuidade em x=0 (nó interior). Vou avaliar função e derivadas à esquerda e à direita em x=0.
  • Valores das funções:
S_{L}(0) = -0,5\cdot 0^{3}+1,5\cdot 0^{2}-1 = -1,
S_{R}(0) = 0,5\cdot 0^{3}+1,5\cdot 0^{2}-1 = -1.
Logo \;S_{L}(0)=S_{R}(0)=-1 (continuidade da função).
  • Valores das derivadas primeiras:
S_{L}'(0) = -1,5\cdot 0^{2}+3\cdot 0 = 0,
S_{R}'(0) = 1,5\cdot 0^{2}+3\cdot 0 = 0.
Logo \;S_{L}'(0)=S_{R}'(0)=0 (continuidade da primeira derivada).
  • Valores das derivadas segundas:
S_{L}''(0) = -3\cdot 0 + 3 = 3,
S_{R}''(0) = 3\cdot 0 + 3 = 3.
Logo \;S_{L}''(0)=S_{R}''(0)=3 (continuidade da segunda derivada).
Como função, primeira e segunda derivadas coincidem à esquerda e à direita em x=0, S é C^{2} no nó interior.

Passo 7

Conclusão parcial: S é peça por peça um polinômio cúbico e é C^{2} no único nó interior x=0. Portanto S(x) é de fato um spline cúbico definido no intervalo [-1,1] com nós -1,0,1.

Passo 8

Verificar se é spline cúbico natural (“normal”): calcular S'' nos extremos x=-1 e x=1 e checar se são zero.
  • Já temos fórmulas das segundas derivadas:
S_{L}''(x) = -3x + 3,\qquad S_{R}''(x)=3x+3.
Avaliar em x=-1:
S''(-1)=S_{L}''(-1)= -3(-1)+3 = 3+3 = 6.
Avaliar em x=1:
S''(1)=S_{R}''(1)= 3(1)+3 = 3+3 = 6.
Ambos os valores são \;6, isto é, não são zero.

Passo 9

Conclusão final sobre naturalidade: como S''(-1)=6 e S''(1)=6 (não nulos), a condição de spline cúbico natural ( S'' nos extremos igual a zero) não é satisfeita. Portanto S não é um spline cúbico normal (natural).

Resposta

S(x) é um spline cúbico.
S(x) não é um spline cúbico normal (natural).

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