1. Transforme a equação
y^{\prime \prime}(x)+y^{\prime}(x) e^{x}-y(x)^{2}=x^{3}
a um sistema equivalente de equações da primeira ordem.

Passo 1

O enunciado pede: transformar a equação
y^{\prime\prime}(x)+y^{\prime}(x)e^{x}-y(x)^{2}=x^{3}
em um sistema equivalente de equações diferenciais da primeira ordem.
Informações dadas: a equação é de segunda ordem em y(x), contém termos não lineares ( y(x)^{2}) e depende explicitamente de x (via e^{x} e x^{3}). O objetivo é reescrever tudo como um sistema de equações da forma primeira ordem (variáveis novas que representem y e suas derivadas).

Passo 2

Ideia padrão (explicação didática): para reduzir a ordem de uma EDO de ordem n a um sistema de primeira ordem, definimos novas variáveis que representem y e suas derivadas sucessivas até ordem n-1. Aqui, como a equação é de segunda ordem, precisamos de duas variáveis. Defina:
u_{1}(x)=y(x)
u_{2}(x)=y^{\prime}(x).
Motivo: com essas definições, as derivadas u_{1}^{\prime} e u_{2}^{\prime} serão expressões de primeira ordem em x,u_{1},u_{2}.

Passo 3

Calcule as derivadas das novas variáveis em termos de y e suas derivadas (aqui a conta é direta):
u_{1}^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}u_{1}(x)=\frac{d}{dx}y(x)=y^{\prime}(x)=u_{2}(x).
u_{2}^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}u_{2}(x)=\frac{d}{dx}y^{\prime}(x)=y^{\prime\prime}(x).
Até aqui só reescrevemos derivadas; agora precisamos expressar y^{\prime\prime}(x) usando a equação original.

Passo 4

Isolamos y^{\prime\prime}(x) na equação original para obter uma expressão em termos de x,y,y^{\prime}:
y^{\prime\prime}(x)=x^{3}-y^{\prime}(x)e^{x}+y(x)^{2}.
Agora substituímos y(x)=u_{1}(x) e y^{\prime}(x)=u_{2}(x):
u_{2}^{\prime}(x)=x^{3}-e^{x}u_{2}(x)+u_{1}(x)^{2}.
Essa é a segunda equação do sistema de primeira ordem.

Passo 5

Juntando as duas equações de primeira ordem que obtivemos, temos o sistema equivalente:
\begin{cases} u_{1}^{\prime}(x)=u_{2}(x),\\[6pt] u_{2}^{\prime}(x)=x^{3}-e^{x}u_{2}(x)+u_{1}(x)^{2}. \end{cases}
Explicação didática sobre a forma: esse sistema é não-autônomo (porque aparece x explicitamente em x^{3} e e^{x}) e não-linear (por causa de u_{1}^{2}). Mas é equivalente à equação original no sentido de que qualquer solução y(x) da EDO original gera (u_{1},u_{2})=(y,y') que satisfaz esse sistema, e vice-versa.]

Passo 6

Observação prática para prova (como transferir condições iniciais): se forem dadas condições iniciais para a EDO original do tipo y(x_{0})=y_{0} e y^{\prime}(x_{0})=y_{1}, então as condições correspondentes para o sistema são
u_{1}(x_{0})=y_{0},\qquad u_{2}(x_{0})=y_{1}.
Isso é importante porque em provas frequentemente pedem para mostrar equivalência incluindo as C.I.

Passo 7

Forma vetorial compacta (útil para enunciar existência/uniquidade ou aplicar métodos numéricos):
\mathbf{u}^{\prime}(x)=\begin{pmatrix}u_{1}^{\prime}(x)\\[4pt]u_{2}^{\prime}(x)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}u_{2}(x)\\[4pt]x^{3}-e^{x}u_{2}(x)+u_{1}(x)^{2}\end{pmatrix},
onde \mathbf{u}(x)=\begin{pmatrix}u_{1}(x)\u_{2}(x)\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{cases} u_{1}^{\prime}(x)=u_{2}(x),\\[6pt] u_{2}^{\prime}(x)=x^{3}-e^{x}u_{2}(x)+u_{1}(x)^{2}. \end{cases}
\mathbf{u}^{\prime}(x)=\begin{pmatrix}u_{2}(x)\\[4pt]x^{3}-e^{x}u_{2}(x)+u_{1}(x)^{2}\end{pmatrix}]

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