- Transforme a equação
a um sistema equivalente de equações da primeira ordem.
Passo 1
O enunciado pede: transformar a equação
em um sistema equivalente de equações diferenciais da primeira ordem.
Informações dadas: a equação é de segunda ordem em , contém termos não lineares (
) e depende explicitamente de
(via
e
). O objetivo é reescrever tudo como um sistema de equações da forma primeira ordem (variáveis novas que representem
e suas derivadas).
Informações dadas: a equação é de segunda ordem em
Passo 2
Ideia padrão (explicação didática): para reduzir a ordem de uma EDO de ordem
a um sistema de primeira ordem, definimos novas variáveis que representem
e suas derivadas sucessivas até ordem
. Aqui, como a equação é de segunda ordem, precisamos de duas variáveis. Defina:
Motivo: com essas definições, as derivadas
e
serão expressões de primeira ordem em
.
Passo 3
Calcule as derivadas das novas variáveis em termos de
e suas derivadas (aqui a conta é direta):
Até aqui só reescrevemos derivadas; agora precisamos expressar
usando a equação original.
Passo 4
Isolamos
na equação original para obter uma expressão em termos de
:
Agora substituímos
e
:
Essa é a segunda equação do sistema de primeira ordem.
Passo 5
Juntando as duas equações de primeira ordem que obtivemos, temos o sistema equivalente:
Explicação didática sobre a forma: esse sistema é não-autônomo (porque aparece
explicitamente em
e
) e não-linear (por causa de
). Mas é equivalente à equação original no sentido de que qualquer solução
da EDO original gera
que satisfaz esse sistema, e vice-versa.]
Passo 6
Observação prática para prova (como transferir condições iniciais): se forem dadas condições iniciais para a EDO original do tipo
e
, então as condições correspondentes para o sistema são
Isso é importante porque em provas frequentemente pedem para mostrar equivalência incluindo as C.I.
Passo 7
Forma vetorial compacta (útil para enunciar existência/uniquidade ou aplicar métodos numéricos):
onde
.]