1. Dada tabela dos valores:
x 1 2 \alpha 5 6
y 3 0 -1 \beta 8
Determine \alpha e \beta sabendo que y(x) é um polinômio do segundo grau.

Passo 1

O enunciado fornece a tabela (peguei os valores da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & 1 & 2 & \alpha & 5 & 6\\hline y & 3 & 0 & -1 & \beta & 8 \end{array}
Pede-se determinar \alpha e \beta sabendo que y(x) é um polinômio do segundo grau.
Informações relevantes dadas: os pontos (1,3), (2,0) e (6,8) têm x e y conhecidos; o ponto (\alpha,-1) tem y=-1 e x=\alpha desconhecido; o ponto (5,\beta) tem x=5 e y=\beta desconhecido.
A resolução começa a seguir.

Passo 2

Ideia usada (sem resolver ainda): um polinômio do segundo grau tem a forma geral
y(x)=ax^2+bx+c,
onde a, b e c são números reais (coeficientes) que determinam completamente o polinômio. Como um polinômio quadrático é determinado por três pontos não colineares, podemos usar três pontos cujos y são conhecidos para encontrar a, b, c; depois usamos essa expressão para achar \alpha e \beta. Escolhi os três pontos com y conhecidos: (1,3), (2,0) e (6,8) — assim evitamos introduzir incógnitas desnecessárias.

Passo 3

Escrevendo a condição y(x)=ax^2+bx+c para cada um dos três pontos conhecidos obtemos o sistema linear:
para (1,3):
a+b+c=3,
para (2,0):
4a+2b+c=0,
para (6,8):
36a+6b+c=8.
Aqui cada equação é obtida substituindo x e y na expressão y=ax^2+bx+c.

Passo 4

Resolvendo o sistema por eliminação (vou mostrar passo a passo): subtraio a primeira equação da segunda para eliminar c\): \[(4a+2b+c)-(a+b+c)=0-3 \implies 3a+b=-3.
Subtraio a segunda equação da terceira:
(36a+6b+c)-(4a+2b+c)=8-0 \implies 32a+4b=8.
Dividindo essa última por 4:
8a+b=2.
Agora tenho o sistema simples de duas equações em a e b:
\begin{cases} 3a+b=-3,\\[4pt] 8a+b=2. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda para eliminar b\]: \[(8a+b)-(3a+b)=2-(-3)\implies 5a=5\implies a=1.\] Com \(a=1 uso 3a+b=-3:
3\cdot 1 + b = -3 \implies b=-6.
Finalmente uso a+b+c=3 para achar c:
1+(-6)+c=3 \implies c=8.]

Passo 5

Portanto o polinômio quadrático é
y(x)=x^2-6x+8.
Explicando um pouco: a=1 é o coeficiente do termo x^2, b=-6 do termo x e c=8 é o termo constante. Se quiseres, dá para fatorar y(x)=(x-2)(x-4), o que ajuda a ver zeros em x=2 e x=4.

Passo 6

Agora uso essa expressão para achar \alpha tal que y(\alpha)=-1. Substituo:
\alpha^2-6\alpha+8=-1.
Passo -1 para o lado esquerdo:
\alpha^2-6\alpha+9=0.
Repare que isso é um quadrado perfeito:
(\alpha-3)^2=0.
Isto significa que a equação tem uma raiz dupla: \alpha=3. (Comentário didático: quando o discriminante de uma equação quadrática ax^2+bx+c=0 é zero, \Delta=b^2-4ac=0, há uma única raiz real dupla; aqui a conclusão equivalente vem do reconhecimento do quadrado perfeito.)

Passo 7

Agora calculo \beta=y(5). Substituo x=5 em y(x)=x^2-6x+8:
\beta = 5^2-6\cdot 5+8 = 25-30+8 = 3.

Passo 8

Checagem rápida (para confiança): com \alpha=3 temos y(3)=9-18+8=-1 (confere) e com x=5 obtemos y(5)=3 (confere). Assim todos os pontos da tabela ficam sobre o mesmo polinômio quadrático encontrado.

Resposta

\alpha=3
\beta=3

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