- Dada tabela dos valores:
x
1
2
5
6
y
3
0
-1
8
Determine
e
sabendo que
é um polinômio do segundo grau.
| x | 1 | 2 |
|
5 | 6 |
| y | 3 | 0 | -1 |
|
8 |
Passo 1
O enunciado fornece a tabela (peguei os valores da tabela do enunciado):
Pede-se determinar
e
sabendo que
é um polinômio do segundo grau.
Informações relevantes dadas: os pontos ,
e
têm
e
conhecidos; o ponto
tem
e
desconhecido; o ponto
tem
e
desconhecido.
A resolução começa a seguir.
Informações relevantes dadas: os pontos
A resolução começa a seguir.
Passo 2
Ideia usada (sem resolver ainda): um polinômio do segundo grau tem a forma geral
onde
,
e
são números reais (coeficientes) que determinam completamente o polinômio. Como um polinômio quadrático é determinado por três pontos não colineares, podemos usar três pontos cujos
são conhecidos para encontrar
,
,
; depois usamos essa expressão para achar
e
. Escolhi os três pontos com
conhecidos:
,
e
— assim evitamos introduzir incógnitas desnecessárias.
Passo 3
Escrevendo a condição
para cada um dos três pontos conhecidos obtemos o sistema linear:
para :
para
para
:
para
:
Aqui cada equação é obtida substituindo
e
na expressão
.
Passo 4
Resolvendo o sistema por eliminação (vou mostrar passo a passo): subtraio a primeira equação da segunda para eliminar
Subtraio a segunda equação da terceira:
Dividindo essa última por
:
Agora tenho o sistema simples de duas equações em
e
:
Subtraindo a primeira da segunda para eliminar
uso
:
Finalmente uso
para achar
:
Passo 5
Portanto o polinômio quadrático é
Explicando um pouco:
é o coeficiente do termo
,
do termo
e
é o termo constante. Se quiseres, dá para fatorar
, o que ajuda a ver zeros em
e
.
Passo 6
Agora uso essa expressão para achar
tal que
. Substituo:
Passo
para o lado esquerdo:
Repare que isso é um quadrado perfeito:
Isto significa que a equação tem uma raiz dupla:
. (Comentário didático: quando o discriminante de uma equação quadrática
é zero,
, há uma única raiz real dupla; aqui a conclusão equivalente vem do reconhecimento do quadrado perfeito.)
Passo 7
Agora calculo
. Substituo
em
:
Passo 8
Checagem rápida (para confiança): com
temos
(confere) e com
obtemos
(confere). Assim todos os pontos da tabela ficam sobre o mesmo polinômio quadrático encontrado.