- Transforme a equação
a um sistema equivalente de equações da primeira ordem.
Passo 1
O enunciado pede que eu transforme a equação
num sistema equivalente de equações da primeira ordem. As informações dadas são:
- A incógnita é a função
. - A equação envolve
, e . - Não há condições iniciais fornecidas (apenas a equação em si).
- A tarefa é reescrever essa única equação de segunda ordem como um sistema de duas equações de primeira ordem que seja equivalente.
Passo 2
Ideia prática (sem resolver ainda): para transformar uma equação de ordem
numa forma de primeira ordem, eu defino novas variáveis que representem
e as suas derivadas até uma ordem menor. Vou escolher variáveis simples e óbvias:
Explicando:
guarda o valor da função e
guarda a sua derivada. Assim a equação de ordem
vira um sistema de duas equações de ordem
, porque as derivadas de
e
envolvem apenas primeiras derivadas.
Passo 3
Calculo as derivadas das novas variáveis:
Isto já nos dá a primeira equação do sistema:
Agora preciso de uma expressão para
. Pela definição,
. Na equação original isolo
:
Passo 4
Substituo as definições
e
nessa expressão para obter a segunda equação do sistema:
Portanto, juntando as duas equações, o sistema é
Passo 5
Verificação de equivalência (por que esse sistema é equivalente à equação original):
- Se
satisfaz a equação original, então definindo e obtemos as duas equações acima automaticamente (pois e ). - Reciprocamente, se
satisfaz o sistema e eu defino , então e . Substituindo no lado esquerdo da equação original dá exatamente . Logo a correspondência é bijetiva entre soluções (com as derivadas compatíveis).
Isto mostra que o sistema e a equação original têm exatamente as mesmas soluções (dadas condições iniciais compatíveis).
Passo 6
Forma vetorial (útil para teoria e métodos numéricos): escrevo
. Então o sistema pode ser escrito como
onde
Comentário didático final: o sistema é não linear por causa do termo
. Transformar para primeira ordem é padrão porque permite usar teoria geral de sistemas de primeira ordem (existência, unicidade) e métodos numéricos passo-a-passo.]