1. Transforme a equação
y^{\prime \prime}(x)+y^{\prime}(x)^{2}-y(x) e^{x}=\cos x
a um sistema equivalente de equações da primeira ordem.

Passo 1

O enunciado pede que eu transforme a equação
y^{\prime\prime}(x)+y^{\prime}(x)^{2}-y(x)e^{x}=\cos x
num sistema equivalente de equações da primeira ordem. As informações dadas são:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação envolve y, y' e y''.
  • Não há condições iniciais fornecidas (apenas a equação em si).
  • A tarefa é reescrever essa única equação de segunda ordem como um sistema de duas equações de primeira ordem que seja equivalente.

Passo 2

Ideia prática (sem resolver ainda): para transformar uma equação de ordem 2 numa forma de primeira ordem, eu defino novas variáveis que representem y e as suas derivadas até uma ordem menor. Vou escolher variáveis simples e óbvias:
u_1(x) := y(x),\qquad u_2(x) := y'(x).
Explicando: u_1 guarda o valor da função e u_2 guarda a sua derivada. Assim a equação de ordem 2 vira um sistema de duas equações de ordem 1, porque as derivadas de u_1 e u_2 envolvem apenas primeiras derivadas.

Passo 3

Calculo as derivadas das novas variáveis:
u_1'(x) = \frac{d}{dx}u_1(x) = \frac{d}{dx}y(x) = y'(x) = u_2(x).
Isto já nos dá a primeira equação do sistema:
u_1' = u_2.
Agora preciso de uma expressão para u_2'(x). Pela definição, u_2'(x)=y''(x). Na equação original isolo y''(x):
y''(x)=\cos x - y'(x)^{2} + y(x)e^{x}.

Passo 4

Substituo as definições u_1 e u_2 nessa expressão para obter a segunda equação do sistema:
u_2'(x)=\cos x - u_2(x)^{2} + u_1(x)e^{x}.
Portanto, juntando as duas equações, o sistema é
\begin{cases} u_1' = u_2,\\[4pt] u_2' = \cos x - u_2^{2} + u_1 e^{x}. \end{cases}]

Passo 5

Verificação de equivalência (por que esse sistema é equivalente à equação original):
  • Se y(x) satisfaz a equação original, então definindo u_1=y e u_2=y' obtemos as duas equações acima automaticamente (pois u_1'=y'=u_2 e u_2'=y''=\cos x-y'^2+y e^x).
  • Reciprocamente, se (u_1,u_2) satisfaz o sistema e eu defino y := u_1, então y'=u_1'=u_2 e y''=u_2'. Substituindo no lado esquerdo da equação original dá exatamente \cos x. Logo a correspondência é bijetiva entre soluções (com as derivadas compatíveis).
    Isto mostra que o sistema e a equação original têm exatamente as mesmas soluções (dadas condições iniciais compatíveis).

Passo 6

Forma vetorial (útil para teoria e métodos numéricos): escrevo \mathbf{u}=(u_1,u_2)^{T}. Então o sistema pode ser escrito como
\mathbf{u}'(x)=f\big(x,\mathbf{u}(x)\big),
onde
f\big(x,\mathbf{u}\big)=\begin{pmatrix}u_2\\[4pt]\cos x - u_2^{2} + u_1 e^{x}\end{pmatrix}.
Comentário didático final: o sistema é não linear por causa do termo u_2^{2}. Transformar para primeira ordem é padrão porque permite usar teoria geral de sistemas de primeira ordem (existência, unicidade) e métodos numéricos passo-a-passo.]

Resposta

\begin{cases} u_1' = u_2,\\[4pt] u_2' = \cos x - u_2^{2} + u_1 e^{x}. \end{cases}

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