10. Considere o sistema de equações não lineares abaixo:

\Phi(x)=\left\{\begin{array}{l} x_{1}=\frac{1}{3} \cos \left(x_{2} x_{3}\right)+\frac{1}{6} \\\ x_{2}=\frac{1}{9} \sqrt{x_{1}^{2}+\sin \left(x_{3}\right)+1,06}-0,1 \\\ x_{3}=-\frac{1}{20} e^{-x_{1} x_{2}}-\frac{10 \pi-3}{60} \end{array}\right.
a) Verifique se o critério de convergência é satisfeito para este sistema.
b) Utilizando o ponto inicial ( x 0)=(1,-1,1), realize a primeira iteração do método.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações \Phi(x) (cada linha é uma componente de \Phi):
\Phi(x)=\left\{\begin{array}{l} x_{1}=\dfrac{1}{3}\cos\left(x_{2}x_{3}\right)+\dfrac{1}{6},\\[6pt] x_{2}=\dfrac{1}{9}\sqrt{x_{1}^{2}+\sin\left(x_{3}\right)+1{,}06}-0{,}1,\\[6pt] x_{3}=-\dfrac{1}{20}e^{-x_{1}x_{2}}-\dfrac{10\pi-3}{60}. \end{array}\right.
O que o enunciado pede:
  • (a) Verificar se o critério de convergência é satisfeito para este sistema (ou seja, checar a condição usual que garante convergência por iteração de ponto fixo).
  • (b) A partir do ponto inicial x^{(0)}=(1,-1,1), realizar a primeira iteração do método (isto é, calcular x^{(1)}=\Phi\big(x^{(0)}\big)).
Informações dadas que vamos usar:
  • A expressão de cada componente de \Phi (copiada acima).
  • O ponto inicial \,x^{(0)}=(1,-1,1).]

Passo 2

Explicação didática do critério de convergência que vamos usar (passo a passo, sem pressupor conhecimento):
  • Ideia geral: uma condição suficiente para que a iteração x^{(k+1)}=\Phi(x^{(k)}) convirja para um ponto fixo é que \Phi seja uma contração numa vizinhança contendo o ponto inicial. “Contração” significa que existe L\in[0,1) tal que
\|\Phi(x)-\Phi(y)\|\le L\|x-y\|
para todos x,y dessa vizinhança.
  • Como verificar na prática: se as derivadas parciais de \Phi são contínuas, uma forma prática é usar a matriz Jacobiana D\Phi(x). Se, numa região D contendo x^{(0)}, a norma matricial escolhida satisfaz \displaystyle \sup_{x\in D}\|D\Phi(x)\| = K <1, então \Phi é contração em D e a iteração converge (isso é uma forma de aplicar o teorema do ponto fixo de Banach).
  • Escolha de norma: para cálculos manuais é comum usar a norma infinito (norma das linhas), definida por
\|A\|_{\infty}=\max_{i}\sum_{j}|a_{ij}|.
Se \|D\Phi(x)\|_{\infty}<1 em uma região, então temos contração.
  • Estratégia prática aqui: calcular a Jacobiana simbólica, avaliá-la no ponto x^{(0)} e calcular \|D\Phi(x^{(0)})\|_{\infty}. Se esse valor for menor que 1, devido à continuidade das derivadas existe uma vizinhança onde a norma também é menor que 1, garantindo convergência local (isto é suficiente para responder o item (a) de maneira usual em provas).

Passo 3

Cálculo simbólico da Jacobiana D\Phi(x). Vamos chamar as componentes de \Phi por \Phi_1,\Phi_2,\Phi_3.
  • Para \Phi_{1}(x)=\dfrac{1}{3}\cos(x_{2}x_{3})+\dfrac{1}{6}:
\frac{\partial\Phi_{1}}{\partial x_{1}}=0, \qquad \frac{\partial\Phi_{1}}{\partial x_{2}}=-\dfrac{1}{3}\,x_{3}\sin(x_{2}x_{3}), \qquad \frac{\partial\Phi_{1}}{\partial x_{3}}=-\dfrac{1}{3}\,x_{2}\sin(x_{2}x_{3}).
  • Para \Phi_{2}(x)=\dfrac{1}{9}\sqrt{x_{1}^{2}+\sin(x_{3})+1{,}06}-0{,}1.
    Defina g(x)=x_{1}^{2}+\sin(x_{3})+1{,}06. Então \Phi_{2}=\dfrac{1}{9}g^{1/2}-0{,}1. Derivando:
\frac{\partial\Phi_{2}}{\partial x_{1}} =\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{2\sqrt{g}}\cdot 2x_{1} =\frac{x_{1}}{9\sqrt{g}},
\frac{\partial\Phi_{2}}{\partial x_{2}}=0, \qquad \frac{\partial\Phi_{2}}{\partial x_{3}} =\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{2\sqrt{g}}\cdot\cos(x_{3}) =\frac{\cos(x_{3})}{18\sqrt{g}}.
  • Para \Phi_{3}(x)=-\dfrac{1}{20}e^{-x_{1}x_{2}}-\dfrac{10\pi-3}{60}:
\frac{\partial\Phi_{3}}{\partial x_{1}} =\frac{1}{20}\,x_{2}\,e^{-x_{1}x_{2}}, \qquad \frac{\partial\Phi_{3}}{\partial x_{2}} =\frac{1}{20}\,x_{1}\,e^{-x_{1}x_{2}}, \qquad \frac{\partial\Phi_{3}}{\partial x_{3}}=0.
  • Portanto a Jacobiana simbólica é
D\Phi(x)= \begin{pmatrix} 0 & -\dfrac{1}{3}x_{3}\sin(x_{2}x_{3}) & -\dfrac{1}{3}x_{2}\sin(x_{2}x_{3})\\[6pt] \dfrac{x_{1}}{9\sqrt{g}} & 0 & \dfrac{\cos(x_{3})}{18\sqrt{g}}\\[6pt] \dfrac{1}{20}x_{2}e^{-x_{1}x_{2}} & \dfrac{1}{20}x_{1}e^{-x_{1}x_{2}} & 0 \end{pmatrix},
com g=x_{1}^{2}+\sin(x_{3})+1{,}06.]

Passo 4

Avaliação numérica da Jacobiana em x^{(0)}=(1,-1,1). Vamos calcular passo a passo os valores intermediários (a fim de você poder reproduzir sem calculadora, eu explico aproximações usadas):
  1. Calcular funções elementares em x^{(0)}:
  • x_{2}x_{3}=(-1)\cdot 1=-1.
  • \sin(-1)=-\sin(1)\approx -0{,}84147098.
  • \cos(1)\approx 0{,}54030231.
  • e^{-x_{1}x_{2}}=e^{1}\approx 2{,}71828183.
  • g=x_{1}^{2}+\sin(x_{3})+1{,}06 = 1^{2}+\sin(1)+1{,}06 = 2{,}06+\sin(1).
    Como \sin(1)\approx 0{,}84147098, obtemos g\approx 2{,}90147098.
  • \sqrt{g}\approx\sqrt{2{,}90147098}\approx 1{,}703 (suficiente para nosso cálculo).
  1. Agora cada derivada em x^{(0)}:
  • \displaystyle \frac{\partial\Phi_{1}}{\partial x_{2}}\bigg|_{x^{(0)}} = -\dfrac{1}{3}\,x_{3}\sin(x_{2}x_{3}) = -\dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot(-0{,}84147098) \approx 0{,}28049033.
  • \displaystyle \frac{\partial\Phi_{1}}{\partial x_{3}}\bigg|_{x^{(0)}} = -\dfrac{1}{3}\,x_{2}\sin(x_{2}x_{3}) = -\dfrac{1}{3}\cdot(-1)\cdot(-0{,}84147098) \approx -0{,}28049033.
  • \displaystyle \frac{\partial\Phi_{2}}{\partial x_{1}}\bigg|_{x^{(0)}} = \frac{x_{1}}{9\sqrt{g}} = \frac{1}{9\cdot 1{,}703} \approx 0{,}06524.
  • \displaystyle \frac{\partial\Phi_{2}}{\partial x_{3}}\bigg|_{x^{(0)}} = \frac{\cos(x_{3})}{18\sqrt{g}} = \frac{0{,}54030231}{18\cdot 1{,}703} \approx 0{,}01763.
  • \displaystyle \frac{\partial\Phi_{3}}{\partial x_{1}}\bigg|_{x^{(0)}} = \frac{1}{20}\,x_{2}\,e^{-x_{1}x_{2}} = \frac{1}{20}\cdot(-1)\cdot 2{,}71828183 \approx -0{,}13591409.
  • \displaystyle \frac{\partial\Phi_{3}}{\partial x_{2}}\bigg|_{x^{(0)}} = \frac{1}{20}\,x_{1}\,e^{-x_{1}x_{2}} = \frac{1}{20}\cdot 1\cdot 2{,}71828183 \approx 0{,}13591409.
  1. Jacobiana numérica aproximada em x^{(0)}:
D\Phi(x^{(0)})\approx \begin{pmatrix} 0 & 0{,}28049033 & -0{,}28049033\\[4pt] 0{,}06524 & 0 & 0{,}01763\\[4pt] -0{,}13591409 & 0{,}13591409 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Cálculo da norma infinito da Jacobiana e conclusão sobre o critério:
  • Norma infinito: soma das absolutas em cada linha, tomar o máximo.
Linha 1: |0|+|0{,}28049033|+|{-0{,}28049033}| = 0{,}56098066.
Linha 2: 0{,}06524+0+0{,}01763 = 0{,}08287.
Linha 3: |{-0{,}13591409}|+|0{,}13591409|+0 = 0{,}27182818.
  • Assim
\|D\Phi(x^{(0)})\|_{\infty}=\max\{0{,}56098066,\;0{,}08287,\;0{,}27182818\}=0{,}56098066\approx 0{,}561.
  • Como \|D\Phi(x^{(0)})\|_{\infty}\approx 0{,}561<1, e as derivadas parciais são contínuas, existe uma vizinhança de x^{(0)} em que \|D\Phi(x)\|_{\infty}<1. Portanto, o critério de convergência (existência de constante de Lipschitz L<1 numa vizinhança) é satisfeito localmente; isso garante convergência local do método de iteração de ponto fixo partindo de x^{(0)} (sob a condição adicional usual de que \Phi mapeia essa vizinhança em si, que é satisfeita na prática para vizinhanças pequenas aqui).

Passo 6

Primeira iteração: cálculo direto de x^{(1)}=\Phi\big(x^{(0)}\big). Vamos calcular cada componente com os valores já obtidos anteriormente:
  • Para \Phi_{1}(x^{(0)}):
\Phi_{1}(x^{(0)})=\dfrac{1}{3}\cos(-1)+\dfrac{1}{6} =\dfrac{1}{3}\cos(1)+\dfrac{1}{6} \approx \dfrac{1}{3}\cdot 0{,}54030231 + 0{,}16666667 \approx 0{,}18010077 + 0{,}16666667 \approx 0{,}34676744.
  • Para \Phi_{2}(x^{(0)}):
\Phi_{2}(x^{(0)})=\dfrac{1}{9}\sqrt{g}-0{,}1 \approx \dfrac{1}{9}\cdot 1{,}703 - 0{,}1 \approx 0{,}18922 - 0{,}1 \approx 0{,}08922.
  • Para \Phi_{3}(x^{(0)}):
\Phi_{3}(x^{(0)}) = -\dfrac{1}{20}e^{1}-\dfrac{10\pi-3}{60}.
Calculando a constante: \dfrac{10\pi-3}{60}\approx\dfrac{31{,}41592654-3}{60}=\dfrac{28{,}41592654}{60}\approx 0{,}47359878.
E -\dfrac{1}{20}e^{1}\approx -0{,}13591409. Logo
\Phi_{3}(x^{(0)})\approx -0{,}13591409 - 0{,}47359878 \approx -0{,}60951287.
  • Portanto
x^{(1)}=\Phi\big(x^{(0)}\big)\approx\big(0{,}34676744,\;0{,}08922,\;-0{,}60951287\big).

Resposta

(a) O critério de convergência é satisfeito localmente: \|D\Phi(x^{(0)})\|_{\infty}\approx 0{,}56098<1.
(b) x^{(1)}=\Phi\big(x^{(0)}\big)\approx\big(0{,}34676744,\;0{,}08922,\;-0{,}60951287\big).

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