a) Verifique se o critério de convergência é satisfeito para este sistema.
b) Utilizando o ponto inicial ( x 0)=(1,-1,1), realize a primeira iteração do método.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema de equações \Phi(x) (cada linha é uma componente de \Phi):
(a) Verificar se o critério de convergência é satisfeito para este sistema (ou seja, checar a condição usual que garante convergência por iteração de ponto fixo).
(b) A partir do ponto inicial x^{(0)}=(1,-1,1), realizar a primeira iteração do método (isto é, calcular x^{(1)}=\Phi\big(x^{(0)}\big)).
Informações dadas que vamos usar:
A expressão de cada componente de \Phi (copiada acima).
O ponto inicial \,x^{(0)}=(1,-1,1).]
Passo 2
Explicação didática do critério de convergência que vamos usar (passo a passo, sem pressupor conhecimento):
Ideia geral: uma condição suficiente para que a iteração x^{(k+1)}=\Phi(x^{(k)}) convirja para um ponto fixo é que \Phi seja uma contração numa vizinhança contendo o ponto inicial. “Contração” significa que existe L\in[0,1) tal que
\|\Phi(x)-\Phi(y)\|\le L\|x-y\|
para todos x,y dessa vizinhança.
Como verificar na prática: se as derivadas parciais de \Phi são contínuas, uma forma prática é usar a matriz Jacobiana D\Phi(x). Se, numa região D contendo x^{(0)}, a norma matricial escolhida satisfaz \displaystyle \sup_{x\in D}\|D\Phi(x)\| = K <1, então \Phi é contração em D e a iteração converge (isso é uma forma de aplicar o teorema do ponto fixo de Banach).
Escolha de norma: para cálculos manuais é comum usar a norma infinito (norma das linhas), definida por
\|A\|_{\infty}=\max_{i}\sum_{j}|a_{ij}|.
Se \|D\Phi(x)\|_{\infty}<1 em uma região, então temos contração.
Estratégia prática aqui: calcular a Jacobiana simbólica, avaliá-la no ponto x^{(0)} e calcular \|D\Phi(x^{(0)})\|_{\infty}. Se esse valor for menor que 1, devido à continuidade das derivadas existe uma vizinhança onde a norma também é menor que 1, garantindo convergência local (isto é suficiente para responder o item (a) de maneira usual em provas).
Passo 3
Cálculo simbólico da Jacobiana D\Phi(x). Vamos chamar as componentes de \Phi por \Phi_1,\Phi_2,\Phi_3.
Para \Phi_{1}(x)=\dfrac{1}{3}\cos(x_{2}x_{3})+\dfrac{1}{6}:
Para \Phi_{2}(x)=\dfrac{1}{9}\sqrt{x_{1}^{2}+\sin(x_{3})+1{,}06}-0{,}1.
Defina g(x)=x_{1}^{2}+\sin(x_{3})+1{,}06. Então \Phi_{2}=\dfrac{1}{9}g^{1/2}-0{,}1. Derivando:
Avaliação numérica da Jacobiana em x^{(0)}=(1,-1,1). Vamos calcular passo a passo os valores intermediários (a fim de você poder reproduzir sem calculadora, eu explico aproximações usadas):
Como \|D\Phi(x^{(0)})\|_{\infty}\approx 0{,}561<1, e as derivadas parciais são contínuas, existe uma vizinhança de x^{(0)} em que \|D\Phi(x)\|_{\infty}<1. Portanto, o critério de convergência (existência de constante de Lipschitz L<1 numa vizinhança) é satisfeito localmente; isso garante convergência local do método de iteração de ponto fixo partindo de x^{(0)} (sob a condição adicional usual de que \Phi mapeia essa vizinhança em si, que é satisfeita na prática para vizinhanças pequenas aqui).
Passo 6
Primeira iteração: cálculo direto de x^{(1)}=\Phi\big(x^{(0)}\big). Vamos calcular cada componente com os valores já obtidos anteriormente:
Calculando a constante: \dfrac{10\pi-3}{60}\approx\dfrac{31{,}41592654-3}{60}=\dfrac{28{,}41592654}{60}\approx 0{,}47359878.
E -\dfrac{1}{20}e^{1}\approx -0{,}13591409. Logo
(a) O critério de convergência é satisfeito localmente: \|D\Phi(x^{(0)})\|_{\infty}\approx 0{,}56098<1.
(b) x^{(1)}=\Phi\big(x^{(0)}\big)\approx\big(0{,}34676744,\;0{,}08922,\;-0{,}60951287\big).