1. Seja A uma constante positiva dada e g(x)=2 x-A x^2.
    a. Mostre que se a iteração de ponto fixo convergir para um limite não-nulo, o limite será p=1 / A, de modo que o inverso de um número possa ser determinado simplesmente por meio de multiplicações e
    subtrações.
    b. Determine um intervalo em torno de 1 / A para o qual a iteração de ponto fixo convirja, desde que p0 esteja neste intervalo.
  2. Encontre uma função g definida em [0,1] que não satisfaça nenhuma das hipóteses do Teorema 2.2 , mas possua um único ponto fixo em [0,1].
  3. a. Mostre que o Teorema 2.2 é verdadeiro se a desigualdade g^prime(x) <= k for substituída por x in(a, b), para todo . [Sugestāo: observe que apenas a unicidade está em jogo.]

Passo 1

Beleza, vamos resolver umas paradas sobre iteração de ponto-fixo e teorema do ponto-fixo (Teorema 2.2). Precisamos:
  1. Entender que iteração de ponto-fixo é seguir a regra até estacionar num que satisfaça .
  2. Usar álgebra básica para achar esse .
  3. Aplicar o Teorema do Ponto-Fix o (ou o critério de Contraction Mapping) pra achar intervalo de convergência, que envolve estimar .
  4. Mostrar um exemplo que viole todas as hipóteses do teorema mas ainda tenha ponto-fixo único.
  5. Usar o Teorema do Valor Médio pra provar unicidade só com .

Passo 2

Parte 16(a): A função é
g(x)=2x - A,x^2,
e a iteração é p = g(p) = 2p - A p^2 . Se converge a um limite não-zero p = 2p - A p^2 Longrightarrow 0 = 2p - A p^2 - p = p - A p^2 = p,(1 - A p) , então no limite vale
boxedp = 1A
Daí faz assim:
Como a gente quer o limite não-zero, a outra solução fica de fora. Logo

Passo 3

Parte 16(b): Agora queremos achar um intervalo em torno de g'(x)=2 - 2A x onde a iteração converge. A ideia do Teorema do Ponto-Fix o é: se lvert 2 - 2A xrvert <= k ;Longrightarrow; lvert 1 - A xrvert <= k2 é diferenciável e -tfrack2<= 1 - A x<= tfrack2 ;Longrightarrow; 1 - k/2A<= x <= 1 + k/2A num intervalo que se mapeia nele mesmo, então converge.
  1. Calcule I = l[1 - k/2A,,1 + k/2Ar], :
  1. Em , dá . Ótimo sinal: na vizinhança é pequeno.
  2. Queremos um intervalo com centro em onde . Ou seja
Isso vira
Então, para qualquer , se escolhermos
em vale , e também (pode checar isso se fizer uns testes borda). Assim, para qualquer , a iteração converge a .

Passo 4

Questão 17: “Encontre que não satisfaça nenhuma hipótese do Teorema 2.2, mas tenha um único ponto-fixo em g(x)= 2, & xneq tfrac12, tfrac12, & x=tfrac12 .”
– Hipóteses do Teorema 2.2 (ponto-fixo clássico):
  1. .
  2. contínua em .
  3. .
A gente precisa violar as três mas garantir um único com . Um exemplo bizarro, mas que funciona, é:
– Para , , então falha a hipótese 1.
é claramente descontínua em , falha a hipótese 2.
– Derivada nem existe quase em lugar nenhum, falha a hipótese 3.
Mas o único com é . Bingo: único ponto-fixo, sem nenhuma hipótese do teorema.

Passo 5

Questão 18(a): Provar que a unicidade do Teorema 2.2 continua valendo se trocarmos g'(x)<= k<1, por
p - q = g(p) - g(q)
sempre em g(p)-g(q) = g'(xi),(p-q) . A ideia é usar o Teorema do Valor Médio. Suponha que p - q = g'(xi),(p-q)<= k,(p-q)<(p-q), e sejam dois pontos-fixos, . Então
Como é diferenciável, existe tal que
Mas por hipótese . Assim
o que é impossível (não dá um número menor igual a si mesmo, a menos que seja zero). Logo , ou seja . A unicidade está garantida só com .

Resposta

16(a) g(x)= 2,&xneqtfrac12, tfrac12,&x=tfrac12, .
16(b) Para qualquer , se , a iteração converge a .
17) Um exemplo é
que viola todas as hipóteses de 2.2 mas tem único ponto-fixo .
18(a) A unicidade continua valendo porque, pelo Teorema do Valor Médio e , levaria a , forçando .

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