- Seja
uma constante positiva dada e
.
a. Mostre que se a iteração de ponto fixo convergir para um limite não-nulo, o limite será
, de modo que o inverso de um número possa ser determinado simplesmente por meio de multiplicações e
subtrações.
b. Determine um intervalo em torno de
para o qual a iteração de ponto fixo convirja, desde que
esteja neste intervalo.
- Encontre uma função
definida em
que não satisfaça nenhuma das hipóteses do Teorema 2.2 , mas possua um único ponto fixo em
.
- a. Mostre que o Teorema 2.2 é verdadeiro se a desigualdade
for substituída por
, para todo
. [Sugestāo: observe que apenas a unicidade está em jogo.]
a. Mostre que se a iteração de ponto fixo convergir para um limite não-nulo, o limite será
subtrações.
b. Determine um intervalo em torno de
Passo 1
Beleza, vamos resolver umas paradas sobre iteração de ponto-fixo e teorema do ponto-fixo (Teorema 2.2). Precisamos:
- Entender que iteração de ponto-fixo é seguir a regra
até estacionar num que satisfaça . - Usar álgebra básica para achar esse
. - Aplicar o Teorema do Ponto-Fix o (ou o critério de Contraction Mapping) pra achar intervalo de convergência, que envolve estimar
. - Mostrar um exemplo que viole todas as hipóteses do teorema mas ainda tenha ponto-fixo único.
- Usar o Teorema do Valor Médio pra provar unicidade só com
.
Passo 2
Parte 16(a): A função é
e a iteração é
. Se converge a um limite não-zero
, então no limite vale
Daí faz assim:
Como a gente quer o limite não-zero, a outra solução
fica de fora. Logo
Passo 3
Parte 16(b): Agora queremos achar um intervalo em torno de
onde a iteração converge. A ideia do Teorema do Ponto-Fix o é: se
é diferenciável e
num intervalo que se mapeia nele mesmo, então converge.
- Calcule
:
- Em
, dá . Ótimo sinal: na vizinhança é pequeno. - Queremos um intervalo
com centro em onde . Ou seja
Isso vira
Então, para qualquer
, se escolhermos
em
vale
, e também
(pode checar isso se fizer uns testes borda). Assim, para qualquer
, a iteração converge a
.
Passo 4
Questão 17: “Encontre que não satisfaça nenhuma hipótese do Teorema 2.2, mas tenha um único ponto-fixo em
.”
– Hipóteses do Teorema 2.2 (ponto-fixo clássico):
– Hipóteses do Teorema 2.2 (ponto-fixo clássico):
-
. -
contínua em . -
.
A gente precisa violar as três mas garantir um único
com
. Um exemplo bizarro, mas que funciona, é:
– Para
,
, então falha a hipótese 1.
– é claramente descontínua em
, falha a hipótese 2.
– Derivada nem existe quase em lugar nenhum, falha a hipótese 3.
Mas o único com
é
. Bingo: único ponto-fixo, sem nenhuma hipótese do teorema.
–
– Derivada nem existe quase em lugar nenhum, falha a hipótese 3.
Mas o único
Passo 5
Questão 18(a): Provar que a unicidade do Teorema 2.2 continua valendo se trocarmos
por
sempre em
. A ideia é usar o Teorema do Valor Médio. Suponha que
e
sejam dois pontos-fixos,
. Então
Como
é diferenciável, existe
tal que
Mas por hipótese
. Assim
o que é impossível (não dá um número menor igual a si mesmo, a menos que seja zero). Logo
, ou seja
. A unicidade está garantida só com
.
Resposta
16(a)
.
16(b) Para qualquer , se
, a iteração converge a
.
17) Um exemplo é
16(b) Para qualquer
17) Um exemplo é
que viola todas as hipóteses de 2.2 mas tem único ponto-fixo
.
18(a) A unicidade continua valendo porque, pelo Teorema do Valor Médio e , levaria a
, forçando
.
18(a) A unicidade continua valendo porque, pelo Teorema do Valor Médio e