1. a. Utilize o Teorema 2.3 para mostrar que a sequiência definida por
xn=12 xn-1+1xn-1, para n >= 1,
converge para raiz2 sempre que x0>raiz2.
b. Use o fato de que x0 neq raiz2 sempre que 0 para mostrar que se x1>raiz2 então raiz2.
c. Use os resultados das partes (a) e (b) para mostrar que a seqüência em (a) converge para x0>0, sempre que A.
20. a. Mostre que se xn=12 xn-1+A2 xn-1, para n >= 1, for qualquer número positivo, então a seqüência definida por
raizA
convergirá para x0>0, sempre que x0<0.
b. O que ocorre se ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala de duas sequências do tipo
xn=12,xn-1+Cxn-1,
onde em (19) o e o objetivo é mostrar que ela converge para em vários casos de . Em (20) a ideia é igual, só que com e a convergência vai ser para .
O conteúdo que vamos usar é:
  1. Teorema 2.3 (uma sequência monótona e limitada converge).
  2. No limite ela satisfaz a equação .
  3. Análise de sinal e monotonicidade.

Passo 2

(19a) Caso xn=12 xn-1+1xn-1>12raiz2+1raiz2 =raiz22+raiz22=raiz2 .
  1. Primeiro, mostramos que toda a sequência fica acima de xn - xn-1 =l(tfrac12xn-1+tfrac1xn-1r)-xn-1 =-tfrac12xn-1+tfrac1xn-1 =1 - tfrac12xn-1^2xn-1 . De fato, se L=12L+1L ;Longrightarrow;L^2=2;Longrightarrow;L=raiz2 , então
  1. Agora, provamos que é decrescente quando . Compare
Como e , temos . Logo é decrescente.
3) Conclusão pelo Teorema 2.3: sequência decrescente e limitada abaixo por converge. No limite vale
(pegamos a raiz positiva porque todos os ).

Passo 3

(19b) Caso x1=12x0+1x0 Longrightarrow x1 - raiz2 =12x0+1x0-raiz2 =x0^2+2-2raiz2,x02x0 =(x0-raiz2)^22x0 .
Aqui a ideia é mostrar que já no primeiro passo a sequência “sobe” acima de .
Como e , dá . Ou seja, .

Passo 4

(19c) Juntando tudo:
  • Se , a parte (a) manda a sequência convergir para .
  • Se , pela (b) temos e daí pela (a) (agora com no lugar de ) ela converge para .
    Logo, para todo , a sequência converge para .

Passo 5

(20a) Agora o mesmo raciocínio trocando o “1” por “ xn=12xn-1+A2xn-1 ”:
L=12L+A2L ;Longrightarrow;L^2=A ;Longrightarrow;L=raiz A
  1. Se , mostra-se igual que antes que .
  2. Também dá para ver que aí , pois o numerador vira .
  3. Pelo Teorema 2.3, é decrescente e limitada abaixo por , logo converge. No limite vale

Passo 6

(20b) E se L=12L+A2L Longrightarrow L^2=A Longrightarrow L=-raiz A ?
Note que . Como e , tem . Por indução dá para todo . No limite satisfaz
(escolhemos a raiz negativa porque a sequência é toda negativa).

Resposta

  1. A sequência converge para sempre que .
    20a. Para , converge para .
    20b. Para , converge para .

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