- a. Utilize o Teorema 2.3 para mostrar que a sequiência definida por
converge para
sempre que
.
b. Use o fato de que
sempre que
para mostrar que se
então
.
c. Use os resultados das partes (a) e (b) para mostrar que a seqüência em (a) converge para
, sempre que
.
20. a. Mostre que se
for qualquer número positivo, então a seqüência definida por
convergirá para
, sempre que
.
b. O que ocorre se
?
b. Use o fato de que
c. Use os resultados das partes (a) e (b) para mostrar que a seqüência em (a) converge para
20. a. Mostre que se
b. O que ocorre se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala de duas sequências do tipo
onde em (19) o
e o objetivo é mostrar que ela converge para
em vários casos de
. Em (20) a ideia é igual, só que com
e a convergência vai ser para
.
O conteúdo que vamos usar é:
O conteúdo que vamos usar é:
- Teorema 2.3 (uma sequência monótona e limitada converge).
- No limite
ela satisfaz a equação . - Análise de sinal e monotonicidade.
Passo 2
(19a) Caso
.
- Primeiro, mostramos que toda a sequência fica acima de
. De fato, se , então
- Agora, provamos que
é decrescente quando . Compare
Como
e
, temos
. Logo é decrescente.
3) Conclusão pelo Teorema 2.3: sequência decrescente e limitada abaixo por converge. No limite
vale
3) Conclusão pelo Teorema 2.3: sequência decrescente e limitada abaixo por
(pegamos a raiz positiva porque todos os
).
Passo 3
(19b) Caso
.
Aqui a ideia é mostrar que já no primeiro passo a sequência “sobe” acima de .
Aqui a ideia é mostrar que já no primeiro passo a sequência “sobe” acima de
Como
e
, dá
. Ou seja,
.
Passo 4
(19c) Juntando tudo:
- Se
, a parte (a) manda a sequência convergir para . - Se
, pela (b) temos e daí pela (a) (agora com no lugar de ) ela converge para .
Logo, para todo, a sequência converge para .
Passo 5
(20a) Agora o mesmo raciocínio trocando o “1” por “
”:
- Se
, mostra-se igual que antes que . - Também dá para ver que aí
, pois o numerador vira . - Pelo Teorema 2.3,
é decrescente e limitada abaixo por , logo converge. No limite vale
Passo 6
(20b) E se
?
Note que . Como
e
, tem
. Por indução dá
para todo
. No limite
satisfaz
Note que
(escolhemos a raiz negativa porque a sequência é toda negativa).
Resposta
- A sequência converge para
sempre que .
20a. Para, converge para .
20b. Para, converge para .