Utilize todos os três métodos desta seção para encontrar soluções com precisão de 10^-7 para os problemas a seguir.
x^2-4 x+4-ln x=0 para 1 <= x <= 2 e para 2 <= x <= 4

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar raízes da equação
f(x)=x^2-4x+4-ln x=0
em dois intervalos, e , com precisão de .
Conteúdo: métodos numéricos de aproximação de raízes (bisseção, Newton e secante).
Precisamos de:
  • saber avaliar
  • para Newton, também
  • escolher “chutes” iniciais dentro de cada intervalo
  • repetir o algoritmo até o erro ser < .

Passo 2

Método da Bisseção
  1. Verifica-se que , , logo há raiz em . Do mesmo modo em , pois , .
  2. Para cada intervalo: definir , ; calcular ; avaliar .
    • Se , substituo ; senão .
    • Repito até .
  3. Resultado numérico final:
    • raiz em :
    • raiz em :

Passo 3

Método de Newton
  1. Fórmula de iteração:
xn+1=xn-f(xn)f'(xn), f'(x)=2(x-2)-1x
  1. Escolho como ponto médio do intervalo:
    • para ,
    • para ,
  2. Faço 3–5 iterações até .
  3. Chego em:
    • raiz em :
    • raiz em :

Passo 4

Método da Secante
  1. Fórmula de iteração:
xn+2 =xn+1 -;f(xn+1); xn+1-xnf(xn+1)-f(xn)
  1. Chutes iniciais:
    • : ,
    • : ,
  2. Repito até .
  3. Resultado:
    • raiz em :
    • raiz em :

Resposta

Aplicando bisseção, Newton e secante, as raízes com precisão xapprox1.4126190, & 1<= x<=2, xapprox3.0568934, & 2<= x<=4 são:

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