Seja f(x)=ln (x+1).
Estime um limitante superior para o erro cometido no item (a) usando a fórmula do erro de truncamento de Taylor. Mostre que este resultado é compatível com o erro absoluto encontrado no item (b).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a função é
f(x)=ln(1+x)
e que lá no item (a) a gente aproximou P3(x)=x-x^22+x^33 (ou seja, ) pelo polinômio de Taylor de ordem 3 em torno de 0:
Agora queremos usar a fórmula do resto (erro de truncamento de Lagrange) pra estimar um limite superior de .
Conteúdo: série de Taylor, derivadas de e fórmula do resto de Lagrange.

Passo 2

Lembra que o resto de Lagrange para o polinômio de ordem Rn(x) =f^(n+1)(xi)(n+1)!,x^,n+1 para algum xiin(0,x) em torno de 0 é
f(x)=ln(1+x), f'(x)=11+x,
No nosso caso f^(k)(t) =(-1)^,k-1,(k-1)!,l(1+tr)^-k e f^(4)(t) =(-1)^3cdot3!,l(1+tr)^-4 =-6,(1+t)^-4 . Precisamos então de . Como
a gente mostra por indução que
Em particular, para :

Passo 3

O resto em valor absoluto fica
|R3(1)| =|f^(4)(xi)4!cdot1^4| =624,1(1+xi)^4 =14,(1+xi)^4
Como |R3(1)|<=14 , temos . Logo

Passo 4

No item (b) o erro absoluto real foi
l|ln2 - P3(1)r| =l|0.693147ldots - 0.833333ldotsr| approx0.1402
E nosso limitante diz que o erro tem que ser 0.1402<=0.25, . Como
está tudo certo: o valor real do erro cabe certinho no nosso limite teórico.

Resposta

Um limitante superior para o erro é
|R3(1)|<=14,
e de fato , mostrando compatibilidade com o erro do item (b).

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