Seja .
Estime um limitante superior para o erro cometido no item (a) usando a fórmula do erro de truncamento de Taylor. Mostre que este resultado é compatível com o erro absoluto encontrado no item (b).
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a função é
e que lá no item (a) a gente aproximou (ou seja, ) pelo polinômio de Taylor de ordem 3 em torno de 0:
Agora queremos usar a fórmula do resto (erro de truncamento de Lagrange) pra estimar um limite superior de .
Conteúdo: série de Taylor, derivadas de e fórmula do resto de Lagrange.
Passo 2
Lembra que o resto de Lagrange para o polinômio de ordem Rn(x) =f^(n+1)(xi)(n+1)!,x^,n+1 para algum xiin(0,x) em torno de 0 é
f(x)=ln(1+x), f'(x)=11+x,
No nosso caso f^(k)(t) =(-1)^,k-1,(k-1)!,l(1+tr)^-k e f^(4)(t) =(-1)^3cdot3!,l(1+tr)^-4 =-6,(1+t)^-4 . Precisamos então de . Como