Seja
f(x)=e^x-e^-xx
a. Determine f(0,1).
b. Use a aritmética de arredondamento, com três algarismos, para calcular f(0,1)=2,003335000.
c. Substitua cada função exponencial por seu polinômio de Maclaurin de grau três e repita o item (b).
d. O valor real é . Determine o erro relativo para os valores obtidos nos itens (b) e ©.

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos
f(x)=e^x - e^-xx
e pede 4 coisinhas:
a) .
b) Calcular usando arredondamento a três algarismos significativos em cada operação.
c) Repetir (b) substituindo e pelos seus polinômios de Maclaurin de grau 3.
d) Dado que o valor exato é , achar o erro relativo dos resultados de (b) e ©.
Conteúdo: limites, séries de Taylor/Maclaurin, aritmética de arredondamento e erro relativo.

Passo 2

a) Queremos e^x = 1 + x + tfracx^22 + tfracx^36 + cdots, e^-x = 1 - x + tfracx^22 - tfracx^36 + cdots .
Teoria rápida: quando e^x - e^-x = (1+x+tfracx^22+tfracx^36+cdots) - (1-x+tfracx^22-tfracx^36+cdots) = 2x + tfrac2x^36 + cdots = 2x + tfracx^33 + cdots , tanto o numerador quanto o denominador vão a zero, então podemos usar a série de Taylor ou L’Hôpital.
  1. Pela série: e^x - e^-xx = 2 + tfracx^23 + cdots ;longrightarrow; 2 quando xto0 Então Dividindo por :
  2. Pelo L’Hôpital: derivamos numerador e denominador:
Resposta do (a): o limite vale 2.

Passo 3

b) Agora f(0,1)=e^0.1-e^-0.10.1 . Queremos
0,2050,100 = 2,05,
fazendo cada operação e cada constante com 3 algarismos significativos.
  1. Calcular : valor exato ~1,1051709… → arredondo a 3 sig. dígitos → 1,11.
  2. Calcular : ~0,9048374… → 3 sig. dígitos → 0,905.
  3. Subtração: . Aqui já tem 3 dígitos significativos (2,0,5).
  4. Dividir por 0,1 (que a gente trata como para ter 3 dígitos): e tem 3 dígitos significativos.
Resposta do (b): 2,05.

Passo 4

c) Agora vamos aproximar e^x approx 1 + x + tfracx^22 + tfracx^36, e^-x approx 1 - x + tfracx^22 - tfracx^36 e e^x - e^-x approx l(1+x+tfracx^22+tfracx^36r) -l(1-x+tfracx^22-tfracx^36r) = 2x + tfrac2x^36 = 2x + tfracx^33 pelos polinômios de Maclaurin de grau 3:
f(x)approx 2x + tfracx^33x = 2 + x^23
Então
2 + (0,1)^23 = 2 + 0,013 = 2 + 0,00333ldots
Logo
Para :
Fazendo a aritmética em 3 dígitos significativos:
  • (três dígitos significativos: 3,3,3)
  • → arredondando a 3 sig. dígitos: 2,00
Resposta do ©: 2,00.

Passo 5

d) Erro relativo:
erro rel = |aprox - valor real||valor real|
Valor real dado: .
  • Para (b): aprox = 2,05

    2,33%.
  • Para ©: aprox = 2,00

    0,1665%.

Resposta

a) 2
b) 2,05
c) 2,00
d) erro relativo em (b): 2,33%; em ©: 0,1665%.

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