Seja
a. Determine
.
b. Use a aritmética de arredondamento, com três algarismos, para calcular
.
c. Substitua cada função exponencial por seu polinômio de Maclaurin de grau três e repita o item (b).
d. O valor real é
. Determine o erro relativo para os valores obtidos nos itens (b) e ©.
b. Use a aritmética de arredondamento, com três algarismos, para calcular
c. Substitua cada função exponencial por seu polinômio de Maclaurin de grau três e repita o item (b).
d. O valor real é
Passo 1
Beleza, a questão diz que temos
e pede 4 coisinhas:
a) .
b) Calcular usando arredondamento a três algarismos significativos em cada operação.
c) Repetir (b) substituindo e
pelos seus polinômios de Maclaurin de grau 3.
d) Dado que o valor exato é , achar o erro relativo dos resultados de (b) e ©.
a)
b) Calcular
c) Repetir (b) substituindo
d) Dado que o valor exato é
Conteúdo: limites, séries de Taylor/Maclaurin, aritmética de arredondamento e erro relativo.
Passo 2
a) Queremos
.
Teoria rápida: quando , tanto o numerador quanto o denominador vão a zero, então podemos usar a série de Taylor ou L’Hôpital.
Teoria rápida: quando
- Pela série:
Então Dividindo por : - Pelo L’Hôpital: derivamos numerador e denominador:
Resposta do (a): o limite vale 2.
Passo 3
b) Agora
. Queremos
fazendo cada operação e cada constante com 3 algarismos significativos.
- Calcular
: valor exato ~1,1051709… → arredondo a 3 sig. dígitos → 1,11. - Calcular
: ~0,9048374… → 3 sig. dígitos → 0,905. - Subtração:
. Aqui já tem 3 dígitos significativos (2,0,5). - Dividir por 0,1 (que a gente trata como
para ter 3 dígitos): e tem 3 dígitos significativos.
Resposta do (b): 2,05.
Passo 4
c) Agora vamos aproximar
e
pelos polinômios de Maclaurin de grau 3:
Então
Logo
Para
:
Fazendo a aritmética em 3 dígitos significativos:
-
(três dígitos significativos: 3,3,3) -
→ arredondando a 3 sig. dígitos: 2,00
Resposta do ©: 2,00.
Passo 5
d) Erro relativo:
Valor real dado:
.
-
Para (b): aprox = 2,05
→ 2,33%. -
Para ©: aprox = 2,00
→ 0,1665%.
Resposta
a) 2
b) 2,05
c) 2,00
d) erro relativo em (b): 2,33%; em ©: 0,1665%.
b) 2,05
c) 2,00
d) erro relativo em (b): 2,33%; em ©: 0,1665%.