Considere a equação f(x)=x+e^x=0. Usando o método de Newton, resolva a equação com epsilon=0,0001.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado pede para resolver a equação
f(x) = x + e^x = 0
usando o Método de Newton até que a diferença entre duas iterações seja menor que xn+1 ;=; xn ;-;f(xn)f'(xn), .
Conteúdo: Método de Newton para encontrar zeros de função.
O que a gente precisa:
1) Saber que Newton itera pela fórmula

2) Calcular ,
3) Escolher um chute inicial (vamos usar ),
4) Iterar até .

Passo 2

Relembrando a teoria: o Método de Newton aproxima raízes usando a reta tangente em cada ponto. Se xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) é o nosso “palpite” atual, a reta tangente em f'(x)=1+e^x cruza o eixo em
Aqui e, portanto,

Passo 3

Vamos às iterações:
Chute inicial: x1 = -1 - -0,6321201,367879 approx -1 + 0,462117 = -0,537883 .
  1. x2 = -0,537883 - 0,0468531,584736 approx -0,537883 - 0,029568 = -0,567452 :
    x3 = -0,567452 - -0,0004451,567007 approx -0,567452 + 0,000284 = -0,567168
    x4 = -0,567168 - -0,0000241,567144 approx -0,567168 + 0,000015 = -0,567153
  2. :

  3. :

    Diferença , então continua.
  4. :

    Agora . Paramos.

Resposta

A solução aproximada da equação boxedx approx -0,56715 pelo Método de Newton, com critério , é

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