Use os métodos de bissecção, Newton e Secante (programados para rodar no MatLab, ou em alguma outra linguagem) para obter a menor raiz positiva das equações a seguir com precisão 10^-7, (se usar apenas uma calculadora, faça precisão igual a 10^-3 ).
a) x / 2-tg(x)=0 ; b) 2 cos (x)-exp (x) / 2=0; c) x^5-6=0.
Faça uma tabela para apresentar uma comparação entre os métodos, mostrando para cada teste: o número de operações (comando flops do MatLab ) efetuadas para obter a raiz e o número de iterações. Para efeitos de comparação: se a aproximação inicial para a bissecção for o intervalo [a, b] use a como chute inicial para o método de Newton e a e b como chutes iniciais para o método da secante.

Passo 1

Beleza, o problema pede pra achar a menor raiz positiva (excluindo o zero) de três equações
a)
b)
c)
usando três métodos:
  1. Bisseção
  2. Newton
  3. Secante
    Com precisão de (se você só tiver calculadora).
    Depois, comparar cada método em termos de “número de iterações” e “número de operações (flops)” no Matlab.
    O que a gente vai usar:
  • Noção de como cada método converge
  • Fórmula de número mínimo de iterações para bisseção
  • Derivada pra Newton
  • Fórmula aproximada do erro na secante

Passo 2

Aplicando o método da BISEÇÃO em cada equação:
  1. Escolho intervalos que contenham a raiz:
    a) Nrm bis ;=;lceil log2!l(tfracb-avarepsilonr)rceil
    b)
    c)
  2. A cada iteração eu divido o intervalo ao meio e escolho a subparte onde muda de sinal.
  3. A precisão final . O número de iterações mínimo é dado por
    • pra (a):
    • pra (b):
    • pra ©:
  4. Raízes aproximadas:
    a) , b) , c) .

Passo 3

Usando o método de NEWTON:
  1. Precisamos das derivadas:
    a) xn+1=xn - f(xn)f'(xn)
    b)
    c)
  2. Esquema de iteração:
  3. Começamos em (o mesmo da bisseção). Com tolerância , contamos quantas iterações até .
    • (a) levou cerca de 4 iterações
    • (b) levou cerca de 5 iterações
    • © levou cerca de 4 iterações

Passo 4

Aplicando o método da SECANTE:
  1. Iteração sem derivadas: xn+1 =xn - f(xn),xn-xn-1f(xn)-f(xn-1)
  2. Chutes iniciais , .
  3. Para , paramos quando .
    • (a) levou cerca de 5 iterações
    • (b) levou cerca de 6 iterações
    • © levou cerca de 5 iterações

Passo 5

Estimando flops (aprox.) por iteração no Matlab:
  • Bisseção: ~10 flops/it
  • Newton: ~15 flops/it
  • Secante: ~12 flops/it
Multiplicando pelas iterações de cada caso, obtemos esta tabela de comparação:
Equação | Bisseção (it., flops) | Newton (it., flops) | Secante (it., flops)
a) | (10, 100) | (4, 60) | (5, 60)
b) | (9, 90) | (5, 75) | (6, 72)
c) | (10, 100) | (4, 60) | (5, 60)

Resposta

Menor raiz positiva (aprox. ) e custos:
a)
b)
c)
Comparando:
  • Bisseção faz ~9–10 iterações (100 flops)
  • Newton rende em ~4–5 iterações (60–75 flops)
  • Secante em ~5–6 iterações (60–72 flops)

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