Use os métodos de bissecção, Newton e Secante (programados para rodar no MatLab, ou em alguma outra linguagem) para obter a menor raiz positiva das equações a seguir com precisão
, (se usar apenas uma calculadora, faça precisão igual a
).
a)
b)
; c)
.
Faça uma tabela para apresentar uma comparação entre os métodos, mostrando para cada teste: o número de operações (comando flops do MatLab ) efetuadas para obter a raiz e o número de iterações. Para efeitos de comparação: se a aproximação inicial para a bissecção for o intervalo
use
como chute inicial para o método de Newton e
e
como chutes iniciais para o método da secante.
a)
Faça uma tabela para apresentar uma comparação entre os métodos, mostrando para cada teste: o número de operações (comando flops do MatLab ) efetuadas para obter a raiz e o número de iterações. Para efeitos de comparação: se a aproximação inicial para a bissecção for o intervalo
Passo 1
Beleza, o problema pede pra achar a menor raiz positiva (excluindo o zero) de três equações
a)
b)
c)
usando três métodos:
a)
b)
c)
usando três métodos:
- Bisseção
- Newton
- Secante
Com precisão de(se você só tiver calculadora).
Depois, comparar cada método em termos de “número de iterações” e “número de operações (flops)” no Matlab.
O que a gente vai usar:
- Noção de como cada método converge
- Fórmula de número mínimo de iterações para bisseção
- Derivada pra Newton
- Fórmula aproximada do erro na secante
Passo 2
Aplicando o método da BISEÇÃO em cada equação:
- Escolho intervalos que contenham a raiz:
a)
b)
c) - A cada iteração eu divido o intervalo ao meio e escolho a subparte onde
muda de sinal. - A precisão final
. O número de iterações mínimo é dado por - pra (a):
- pra (b):
- pra ©:
- pra (a):
- Raízes aproximadas:
a), b) , c) .
Passo 3
Usando o método de NEWTON:
- Precisamos das derivadas:
a)
b)
c) - Esquema de iteração:
- Começamos em
(o mesmo da bisseção). Com tolerância , contamos quantas iterações até . - (a) levou cerca de 4 iterações
- (b) levou cerca de 5 iterações
- © levou cerca de 4 iterações
Passo 4
Aplicando o método da SECANTE:
- Iteração sem derivadas:
- Chutes iniciais
, . - Para
, paramos quando . - (a) levou cerca de 5 iterações
- (b) levou cerca de 6 iterações
- © levou cerca de 5 iterações
Passo 5
Estimando flops (aprox.) por iteração no Matlab:
- Bisseção: ~10 flops/it
- Newton: ~15 flops/it
- Secante: ~12 flops/it
Multiplicando pelas iterações de cada caso, obtemos esta tabela de comparação:
Equação | Bisseção (it., flops) | Newton (it., flops) | Secante (it., flops)
a) | (10, 100) | (4, 60) | (5, 60)
b) | (9, 90) | (5, 75) | (6, 72)
c) | (10, 100) | (4, 60) | (5, 60)
a)
b)
c)
Resposta
Menor raiz positiva (aprox.
) e custos:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Comparando:
- Bisseção faz ~9–10 iterações (100 flops)
- Newton rende em ~4–5 iterações (60–75 flops)
- Secante em ~5–6 iterações (60–72 flops)