Considere f(x)=x^{3}-x-1.
a) Existe raiz no intervalo [1,4]? Se sim, quantas?

Justifique.

b) Encontre uma aproximação para a raiz de f, aplicando 5 iterações do método da Bisseção.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}-x-1 e pede duas coisas:
  1. (a) Determinar se existe raiz no intervalo [1,4] e, se sim, quantas raízes existem nesse intervalo — com justificativa.
  2. (b) Encontrar uma aproximação para a raiz de f aplicando 5 iterações do método da Bisseção no intervalo [1,4].
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é f(x)=x^{3}-x-1.
  • Intervalo considerado: [1,4].
  • Para a parte (b) devemos aplicar exatamente 5 iterações do método da Bisseção (ou Bisection).

Passo 2

(a) Mostrar existência de pelo menos uma raiz em [1,4].
Primeiro, uma explicação rápida e prática: polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. A propriedade que vamos usar (muito útil em provas) é a seguinte: se uma função contínua toma valores de sinais opostos em duas extremidades de um intervalo, então existe pelo menos um ponto desse intervalo onde a função é zero (essa é a ideia do Teorema do Valor Intermediário, também chamado de Teorema de Bolzano). Então basta calcular f nas extremidades e ver os sinais.
Calculemos:
f(1)=1^{3}-1-1=1-1-1=-1.
f(4)=4^{3}-4-1=64-4-1=59.
Aqui eu usei diretamente os valores da função nas extremidades do intervalo dado.
Como f(1)=-1<0 e f(4)=59>0, temos mudança de sinal entre as extremidades do intervalo. Pela propriedade mencionada (valor intermediário), existe pelo menos uma raiz em [1,4].

Passo 3

(a) Mostrar que a raiz é única em [1,4].
Para garantir que exista apenas uma raiz, uma abordagem simples é verificar se f é estritamente monótona (por exemplo, estritamente crescente) no intervalo. Se f for estritamente crescente em [1,4], então não pode ter duas raízes distintas nesse intervalo (duas raízes implicariam que a função fosse zero em dois pontos e, por monotonicidade estrita, isso é impossível).
Vamos usar a derivada para testar monotonicidade. A derivada de f é
f'(x)=3x^{2}-1.
Agora avaliamos um limite inferior para f'(x) em [1,4]. Para x\in[1,4] temos x^{2}\ge 1, então
f'(x)=3x^{2}-1 \ge 3\cdot 1 -1 =2>0.
Portanto f'(x)>0 para todo x\in[1,4], o que significa que f é estritamente crescente nesse intervalo. Logo, já que existe pelo menos uma raiz (do Passo 2) e a função é estritamente crescente, essa raiz é única em [1,4].
Resumo até aqui: existe exatamente uma raiz em [1,4].

Passo 4

(b) Explicação didática do método da Bisseção e do critério de parada.
O método da Bisseção é bem simples e confiável quando sabemos que há mudança de sinal no intervalo inicial:
  • Começamos com um intervalo [a_{0},b_{0}]=[1,4] tal que f(a_{0}) e f(b_{0}) têm sinais opostos.
  • Em cada iteração k calculamos o ponto médio m_{k}=\dfrac{a_{k-1}+b_{k-1}}{2}.
  • Avaliamos f(m_{k}). Se f(m_{k})=0 paramos (achamos raiz exata). Caso contrário, verificamos o sinal de f(m_{k}):
    • Se f(a_{k-1}) e f(m_{k}) têm sinais opostos, então escolhemos [a_{k},b_{k}]=[a_{k-1},m_{k}].
    • Caso contrário (ou seja, f(m_{k}) e f(b_{k-1}) têm sinais opostos), escolhemos [a_{k},b_{k}]=[m_{k},b_{k-1}].
  • Repetimos o processo.
Erro e garantia: após n iterações o comprimento do intervalo é
b_{n}-a_{n}=\frac{b_{0}-a_{0}}{2^{n}}.
Qualquer ponto dentro do intervalo [a_{n},b_{n}] está a, no máximo, \dfrac{b_{0}-a_{0}}{2^{n+1}} da raiz verdadeira (um limite do erro absoluto se tomarmos o ponto médio como aproximação). No nosso caso b_{0}-a_{0}=4-1=3, então depois de n iterações o comprimento do intervalo será \dfrac{3}{2^{n}} e a máxima incerteza ao tomar o último ponto médio será \dfrac{3}{2^{n+1}}. Vamos aplicar exatamente 5 iterações e acompanhar as contas.

Passo 5

(b) Executando as 5 iterações da Bisseção com todos os detalhes aritméticos.
Dados iniciais: a_{0}=1, b_{0}=4, f(1)=-1, f(4)=59.
Iteração 1:
  • m_{1}=\dfrac{1+4}{2}=2{,}5.
  • Calcule f(2{,}5)=2{,}5^{3}-2{,}5-1. 2{,}5^{3}=15{,}625\quad\Rightarrow\quad f(2{,}5)=15{,}625-2{,}5-1=12{,}125.Como f(2{,}5)>0 e f(1)<0, há mudança de sinal em [1,2{,}5]. Então atualizamos: a_{1}=1,\qquad b_{1}=2{,}5.
Iteração 2:
  • m_{2}=\dfrac{1+2{,}5}{2}=1{,}75.
  • Calcule f(1{,}75)=1{,}75^{3}-1{,}75-1. 1{,}75^{2}=3{,}0625,\quad 1{,}75^{3}=1{,}75\cdot 3{,}0625=5{,}359375,
f(1{,}75)=5{,}359375-1{,}75-1=2{,}609375>0.
Como f(1)= -1<0 e f(1{,}75)>0, atualizamos:
a_{2}=1,\qquad b_{2}=1{,}75.
Iteração 3:
  • m_{3}=\dfrac{1+1{,}75}{2}=1{,}375.
  • Calcule f(1{,}375)=1{,}375^{3}-1{,}375-1. 1{,}375^{2}=1{,}890625,\quad 1{,}375^{3}=1{,}375\cdot 1{,}890625=2{,}599609375,
f(1{,}375)=2{,}599609375-1{,}375-1=0{,}224609375>0.
Como f(1)<0 e f(1{,}375)>0, atualizamos:
a_{3}=1,\qquad b_{3}=1{,}375.
Iteração 4:
  • m_{4}=\dfrac{1+1{,}375}{2}=1{,}1875.
  • Calcule f(1{,}1875)=1{,}1875^{3}-1{,}1875-1.
    Observação prática: 1{,}1875=\dfrac{19}{16}, então 1{,}1875^{3}=\left(\dfrac{19}{16}\right)^{3}=\dfrac{6859}{4096}=1{,}674560546875.
f(1{,}1875)=1{,}674560546875-1{,}1875-1=-0{,}512939453125<0.
Agora f(1{,}1875)<0 e f(1{,}375)>0, então a raiz está em [1{,}1875,1{,}375]. Atualizamos:
a_{4}=1{,}1875,\qquad b_{4}=1{,}375.
Iteração 5:
  • m_{5}=\dfrac{1{,}1875+1{,}375}{2}=1{,}28125.
  • Calcule f(1{,}28125)=1{,}28125^{3}-1{,}28125-1.
    Observação prática: 1{,}28125=\dfrac{41}{32}, então 1{,}28125^{3}=\left(\dfrac{41}{32}\right)^{3}=\dfrac{68921}{32768}=2{,}103271484375.
f(1{,}28125)=2{,}103271484375-1{,}28125-1=-0{,}177978515625<0.
Como f(1{,}28125)<0 e f(1{,}375)>0, a raiz está no subintervalo
[a_{5},b_{5}]=[1{,}28125,\;1{,}375].
Encerrando: após 5 iterações, o último ponto médio calculado é m_{5}=1{,}28125 e o intervalo que contém a raiz é [1{,}28125,1{,}375]. O comprimento desse intervalo é
b_{5}-a_{5}=1{,}375-1{,}28125=0{,}09375,
que coincide com \dfrac{3}{2^{5}}=\dfrac{3}{32}=0{,}09375 como previsto. Tomando m_{5} como aproximação, a incerteza máxima (erro absoluto) é no máximo metade do comprimento do intervalo, isto é \dfrac{3}{2^{6}}=\dfrac{3}{64}=0{,}046875.

Resposta

(a) Sim, existe uma raiz em [1,4]; exatamente uma.
(b) Aproximação da raiz após 5 iterações da Bisseção: 1{,}28125.

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