Considere
.
a) Existe raiz no intervalo [1,4]? Se sim, quantas?
Justifique.
b) Encontre uma aproximação para a raiz de f, aplicando 5 iterações do método da Bisseção.
a) Existe raiz no intervalo [1,4]? Se sim, quantas?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Determinar se existe raiz no intervalo
e, se sim, quantas raízes existem nesse intervalo — com justificativa. - (b) Encontrar uma aproximação para a raiz de
aplicando 5 iterações do método da Bisseção no intervalo .
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - Intervalo considerado:
. - Para a parte (b) devemos aplicar exatamente 5 iterações do método da Bisseção (ou Bisection).
Passo 2
(a) Mostrar existência de pelo menos uma raiz em
.
Primeiro, uma explicação rápida e prática: polinômios são funções contínuas em todo
. A propriedade que vamos usar (muito útil em provas) é a seguinte: se uma função contínua toma valores de sinais opostos em duas extremidades de um intervalo, então existe pelo menos um ponto desse intervalo onde a função é zero (essa é a ideia do Teorema do Valor Intermediário, também chamado de Teorema de Bolzano). Então basta calcular
nas extremidades e ver os sinais.
Calculemos:
Aqui eu usei diretamente os valores da função nas extremidades do intervalo dado.
Como
e
, temos mudança de sinal entre as extremidades do intervalo. Pela propriedade mencionada (valor intermediário), existe pelo menos uma raiz em
.
Passo 3
(a) Mostrar que a raiz é única em
.
Para garantir que exista apenas uma raiz, uma abordagem simples é verificar se
é estritamente monótona (por exemplo, estritamente crescente) no intervalo. Se
for estritamente crescente em
, então não pode ter duas raízes distintas nesse intervalo (duas raízes implicariam que a função fosse zero em dois pontos e, por monotonicidade estrita, isso é impossível).
Vamos usar a derivada para testar monotonicidade. A derivada de
é
Agora avaliamos um limite inferior para
em
. Para
temos
, então
Portanto
para todo
, o que significa que
é estritamente crescente nesse intervalo. Logo, já que existe pelo menos uma raiz (do Passo 2) e a função é estritamente crescente, essa raiz é única em
.
Resumo até aqui: existe exatamente uma raiz em
.
Passo 4
(b) Explicação didática do método da Bisseção e do critério de parada.
O método da Bisseção é bem simples e confiável quando sabemos que há mudança de sinal no intervalo inicial:
- Começamos com um intervalo
tal que e têm sinais opostos. - Em cada iteração
calculamos o ponto médio . - Avaliamos
. Se paramos (achamos raiz exata). Caso contrário, verificamos o sinal de : - Se
e têm sinais opostos, então escolhemos . - Caso contrário (ou seja,
e têm sinais opostos), escolhemos .
- Se
- Repetimos o processo.
Erro e garantia: após
iterações o comprimento do intervalo é
Qualquer ponto dentro do intervalo
está a, no máximo,
da raiz verdadeira (um limite do erro absoluto se tomarmos o ponto médio como aproximação). No nosso caso
, então depois de
iterações o comprimento do intervalo será
e a máxima incerteza ao tomar o último ponto médio será
. Vamos aplicar exatamente 5 iterações e acompanhar as contas.
Passo 5
(b) Executando as 5 iterações da Bisseção com todos os detalhes aritméticos.
Dados iniciais:
,
,
,
.
Iteração 1:
-
. - Calcule
. Como e , há mudança de sinal em . Então atualizamos:
Iteração 2:
-
. - Calcule
.
Como
e
, atualizamos:
Iteração 3:
-
. - Calcule
.
Como
e
, atualizamos:
Iteração 4:
-
. - Calcule
.
Observação prática:, então
Agora
e
, então a raiz está em
. Atualizamos:
Iteração 5:
-
. - Calcule
.
Observação prática:, então
Como
e
, a raiz está no subintervalo
Encerrando: após 5 iterações, o último ponto médio calculado é
e o intervalo que contém a raiz é
. O comprimento desse intervalo é
que coincide com
como previsto. Tomando
como aproximação, a incerteza máxima (erro absoluto) é no máximo metade do comprimento do intervalo, isto é
.
Resposta
(a) Sim, existe uma raiz em
; exatamente uma.
(b) Aproximação da raiz após 5 iterações da Bisseção: .
(b) Aproximação da raiz após 5 iterações da Bisseção: