Use a aritmética de arredondamento, com quatro algarismos, e as fórmulas do Exemplo 5 para determinar a aproximação mais precisa para as raízes das seguintes equações quadráticas. Calcule os erros absolutos e relativos.
13 x^2+1234 x-16=0

Passo 1

Beleza, o exercício manda usar aritmética de arredondamento a quatro algarismos e as “fórmulas do Exemplo 5” (ou seja, a forma estável da fórmula de Bhaskara) para achar as raízes de
13x^2 + 1234x - 16 = 0
– conteúdo: aritmética de arredondamento, fórmula de Bhaskara estável e análise de erro (absoluto e relativo).

Passo 2

Primeiro identificamos os coeficientes e já arredondamos cada um a quatro algarismos significativos:
a = tfrac13 approx 0,3333, b = tfrac1234 = 30,75, c = -tfrac16 approx -0,1667

Passo 3

Agora vamos calcular o discriminante
De
  1. De.
  2. .
    • Primeiro .
    • Depois .
  3. Logo

Passo 4

Precisamos de raiz945,8approx 30,76 .
(arredondando a quatro algarismos).

Passo 5

Usamos a versão estável da Bhaskara. Como x1 = -b - raizDe, definimos
-b - raizDe
  1. Calculemos o denominador comum:
x1 = -61,510,6666approx -92,27
  1. 2c = 2cdot(-0,1667) = -0,3334, x2 = -0,3334-61,51 approx 0,005422 .
  2. Então
  1. E

Passo 6

Agora, para achar os erros, precisamos das “raízes verdadeiras” com precisão maior. Se multiplicarmos tudo por 12 e resolvermos exato em alta precisão, encontramos (usando Bhaskara normal sem arredondar):
x1,verd approx -92,2554, x2,verd approx 0,005425

Passo 7

Calculemos os erros:
– Erro absoluto em |x1 - x1,verd| = |-92,27 - (-92,2554)| = 0,0146 :
0,0146| -92,2554| approx 1,58times10^-4
Erro relativo em |0,005422 - 0,005425| = 0,000003 :
0,0000030,005425approx 5,5times10^-4
– Erro absoluto em :
Erro relativo em :

Resposta

Raízes aproximadas (4 algarismos, fórmula estável):
x1approx -92,27, x2approx 0,005422
Erros absolutos:
E1,abs=0,0146, E2,abs=0,000003
Erros relativos:
E1,relapprox1,58times10^-4, E2,relapprox5,5times10^-4

Exercícios relacionados