Seja a equação diferencial x^2 y^prime prime-x y^prime-3 y=0, com as condições de valor inicial ly(1)=3 y^prime(1)=1.
Qual é o valor de y(2) ?
a) -9
b) e^2
c) e^-2
d) 9

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente resolver a equação diferencial
x^2y'' - x,y' - 3y = 0
com as condições iniciais
y(1)=3, y'(1)=1
Isso cai em “equação de Cauchy–Euler” (ou equação de equação diferencial de ordem 2 com coeficientes em potência de y = x^m ). Para resolver, vamos usar o truque de tentar uma solução do tipo

Passo 2

Quer dizer, a gente assume y' = m,x^m-1, y''=m(m-1)x^m-2 . Daí
Substituímos isso na equação original pra achar a tal “equação característica” em .

Passo 3

Substituindo:
x^2l(m(m-1)x^m-2r);-;xl(m,x^m-1r);-;3(x^m)=0
Fazendo contas de potência de m(m-1) ;-; m ;-; 3 ;=;0 : tudo vira . Logo sobra

Passo 4

Essa é a equação quadrática em m^2 - m - m - 3 = m^2 - 2m - 3 = 0 :
m = 2pmraiz4 +122 = 2pm42;Longrightarrow;m1=3,;m2=-1
Resolvendo:

Passo 5

Como os dois valores são distintos, a solução geral é
y(x) = C1,x^3 + C2,x^-1
A derivada fica
y'(x)=3C1,x^2 - C2,x^-2
Agora aplicamos C1 + C2 = 3, e 3C1 - C2 = 1 :
Somando as duas equações dá , então . Logo .

Passo 6

Com y(x)=x^3 + 2,x^-1 e y(2)=2^3 + 2cdot2^-1 = 8 + 1 = 9 , temos
Então

Resposta

.

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