Seja a equação diferencial
, com as condições de valor inicial
.
Qual é o valor de
?
a) -9
b)
c)
d) 9
Qual é o valor de
a) -9
b)
c)
d) 9
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
Isso cai em “equação de Cauchy–Euler” (ou equação de equação diferencial de ordem 2 com coeficientes em potência de
). Para resolver, vamos usar o truque de tentar uma solução do tipo
Passo 2
Quer dizer, a gente assume
. Daí
Substituímos isso na equação original pra achar a tal “equação característica” em
.
Passo 3
Substituindo:
Fazendo contas de potência de
: tudo vira
. Logo sobra
Passo 4
Essa é a equação quadrática em
:
Resolvendo:
Passo 5
Como os dois valores são distintos, a solução geral é
A derivada fica
Agora aplicamos
e
:
Somando as duas equações dá
, então
. Logo
.
Passo 6
Com
e
, temos
Então