Seja
uma função
-periódica, cuja representação em série de Fourier é dada por
.
Qual é o valor da integral definida
?
a)
b)
c)
d)
Qual é o valor da integral definida
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função 2π-periódica dada pela série de Fourier
e quer saber
.
Conteúdo: séries de Fourier e ortogonalidade de senos. Vamos usar também a identidade trigonométrica .
.
Conteúdo: séries de Fourier e ortogonalidade de senos. Vamos usar também a identidade trigonométrica .
Passo 2
Substituindo
dentro da integral temos
Passo 3
Usamos , então o integrando vira
Passo 4
Trocamos soma e integral (condições usuais de convergência), ficando
Passo 5
Agora usamos ortogonalidade:
Só o termo
sobrevive. Logo
e o resultado é