Seja f(t) uma função 2 pi-periódica, cuja representação em série de Fourier é dada por f(t)=2pi sumn=1^infty(-1)^n+1 sen(n t)n.
Qual é o valor da integral definida integral-pi^pi f(t) sen(t) cos (t) d t ?
a) -14
b) -12
c) 12
d) 14

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função 2π-periódica dada pela série de Fourier
e quer saber
.
Conteúdo: séries de Fourier e ortogonalidade de senos. Vamos usar também a identidade trigonométrica .

Passo 2

Substituindo integral-pi^pi f(t),sen(t)cos(t),dt =integral-pi^pi 2pisumn=1^infty(-1)^n+1sen(nt)n ;sen(t)cos(t);dt dentro da integral temos

Passo 3

Usamos , então o integrando vira

Passo 4

Trocamos soma e integral (condições usuais de convergência), ficando

Passo 5

Agora usamos ortogonalidade:
Só o termo integral-pi^pisen(nt)sen(mt),dt= 0,&nneq m, pi,&n=m sobrevive. Logo
e o resultado é
integral-pi^pisen(2t)sen(2t),dt=pi,

Resposta

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