Seja a equação f(x)=x-x ln (x)=0 que rege o funcionamento de uma turbina em um sistema de injeção hidráulica em um foguete espacial, onde a raiz determina o ponto de ebulição do fluído dessa turbina, que deve ser controlado para evitar explosão do foguete. Considerando-se varepsilon=10^-5 e 6 casas decimais, pede-se:
a) Ache uma raiz de f(x) através do Método de Newton-Raphson.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra encontrar a raiz da função
f(x) = x - xln(x) = 0
usando o método de Newton–Raphson, com tolerância e resposta em 6 casas decimais.
Conteúdo: método iterativo de Newton, derivada de funções (regra do produto e de ). Vamos precisar:
  1. calcular ,
  2. montar a iteração ,
  3. escolher um palpite inicial,
  4. iterar até .

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de
f(x) = x - xln(x) = xl(1 - ln(x)r)
Usando regra do produto e f'(x) = 1 - l(ln(x) + 1r) = -ln(x) ,
xn+1 ;=; xn - f(xn)f'(xn) ;=; xn - xn - xnln(xn)-ln(xn) ;=; xn + xnl(1-ln(xn)r)ln(xn)
Logo a fórmula de Newton–Raphson fica

Passo 3

Escolhemos um chute inicial razoável, digamos xn+1 = xn + xnl(1-ln(xn)r)ln(xn) .
Agora é só calcular iterativamente:
[
x_{n+1}

x_n + \frac{x_n\bigl(1-\ln(x_n)\bigr)}{\ln(x_n)}
]
até que .

Passo 4

Vamos às contas (aproximando e arredondando cada iteração a 6 dígitos):
n=0:
n=1:
,

n=2:
,

n=3:
,

n=4:
,

n=5:
,

n=6:
diferença , paramos.

Resposta

A raiz aproximada é
x approx 2.718282

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