Seja f uma função contínua, tal que f(0)f(1) < 0. É falso afirmar que:
Se o método da bisseção calcula consecutivamente duas aproximações xk e xk+1 de um zero de f, é possível que |f(xk+1)| > |f(xk)|.

Passo 1

Beleza! A questão diz: “Seja |f(xk+1)|;>;|f(xk)|, contínua com . É falso afirmar que, no método da bisseção, pode acontecer de
Ou seja, o enunciado afirma que não é possível ter o resíduo aumentando de uma iteração para a outra – e a questão pede pra mostrar que essa afirmação é falsa (isto é, que é possível ter ).
Conteúdo: método da bisseção, continuidade de funções e bracketing. Vamos precisar lembrar como se escolhem e e então dar um contra-exemplo explicando tudo passo a passo.

Passo 2

Relembrando o método da bisseção:
  1. Começamos com um intervalo xk ;=;ak+bk2, tal que .
  2. Definimos
  3. Verificamos o sinal de :
    • Se , o novo intervalo é .
    • Senão, é .
  4. Repetimos.
    O ponto-chave para o contra-exemplo é notar que nada garante monotonicidade de se oscila dentro do intervalo.

Passo 3

Vamos construir um f(x);=;sin(2pi x);+;x;-;0.49 xin[0,1] simples que oscila bastante e veja o que rola:
Defina
f(0)=sin0+0-0.49=-0.49<0, f(1)=sin(2pi)+1-0.49=0.51>0
  1. Avaliando nas pontas: x0=tfrac0+12=0.5, f(0.5)=sin(pi)+0.5-0.49=0+0.01=0.01 Logo x1=tfrac0+0.52=0.25, f(0.25)=sinl(tfracpi2r)+0.25-0.49 =1+0.25-0.49=0.76 , podemos aplicar bisseção em |f(x1)|=0.76 ;>; |f(x0)|=0.01 .
  2. Primeira iteração ( ): Como , escolhemos o subintervalo .
  3. Segunda iteração ( ): Repare que
Ou seja, acabamos de ver duas iterações em que o resíduo aumenta de para .

Resposta

Logo, a afirmação “no método da bisseção é impossível ter ” é falsa. De fato, usando a função
em obtemos
.

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