Seja
uma função contínua, tal que
. É falso afirmar que:
Se o método da bisseção calcula consecutivamente duas aproximações
e
de um zero de
, é possível que
.
Se o método da bisseção calcula consecutivamente duas aproximações
Passo 1
Beleza! A questão diz: “Seja
contínua com
. É falso afirmar que, no método da bisseção, pode acontecer de
Ou seja, o enunciado afirma que não é possível ter o resíduo aumentando de uma iteração para a outra – e a questão pede pra mostrar que essa afirmação é falsa (isto é, que é possível ter
).
Conteúdo: método da bisseção, continuidade de funções e bracketing. Vamos precisar lembrar como se escolhem e
e então dar um contra-exemplo explicando tudo passo a passo.
Conteúdo: método da bisseção, continuidade de funções e bracketing. Vamos precisar lembrar como se escolhem
Passo 2
Relembrando o método da bisseção:
- Começamos com um intervalo
tal que . - Definimos
- Verificamos o sinal de
: - Se
, o novo intervalo é . - Senão, é
.
- Se
- Repetimos.
O ponto-chave para o contra-exemplo é notar que nada garante monotonicidade dese oscila dentro do intervalo.
Passo 3
Vamos construir um
simples que oscila bastante e veja o que rola:
Defina
Defina
- Avaliando nas pontas:
Logo , podemos aplicar bisseção em . - Primeira iteração (
): Como , escolhemos o subintervalo . - Segunda iteração (
): Repare que
Ou seja, acabamos de ver duas iterações em que o resíduo aumenta de
para
.
Resposta
Logo, a afirmação “no método da bisseção é impossível ter
” é falsa. De fato, usando a função
em
obtemos
.