Seja f uma função contínua, tal que f(0)f(1) < 0. É falso afirmar que:
Se a regula falsi calcula consecutivamente duas aproximações xk-1 e xk de um zero de f, então o cálculo da aproximação seguinte, xk+1, pode não envolver xk-1.

Passo 1

Opa! Aqui a gente tem uma função contínua f, com f(0)·f(1)<0 (ou seja, ela muda de sinal entre 0 e 1). A questão diz que é falso afirmar:
“Se a regra da posição falsa (regula falsi) gera duas aproximações sucessivas xₖ₋₁ e xₖ, então o próximo palpite xₖ₊₁ pode não usar xₖ₋₁.”
Matéria: métodos de busca de raiz por posição falsa (bracketing). Vamos precisar da fórmula da regula falsi e entender como ela usa sempre os dois pontos atuais.

Passo 2

Relembrando a regula falsi: dado um intervalo [a,b] com f(a)·f(b)<0, a próxima aproximação c é o ponto onde a reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)) corta o eixo x. A fórmula é
c ;=;a,f(b);-;b,f(a)f(b);-;f(a)
Na nossa notação de iterações, a = xₖ₋₁ e b = xₖ, então
xk+1 ;=; xk-1,f(xk);-;xk,f(xk-1),f(xk);-;f(xk-1),,

Passo 3

Repara: na expressão de xₖ₊₁ aparecem xₖ₋₁ e xₖ tanto no numerador quanto no denominador. Ou seja, o cálculo do novo palpite sempre usa os dois últimos pontos que você tinha. Não tem como dispensar xₖ₋₁, porque sem ele não dá pra montar a reta secante.

Resposta

A afirmação é falsa. Na regula falsi, para obter xₖ₊₁ você sempre precisa de xₖ₋₁ (e de xₖ), pois a fórmula do método depende dos dois pontos atuais.

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