Seja
uma função contínua, tal que
. É falso afirmar que:
A
pode conter vários zeros de
.
A
Passo 1
Beleza! A questão diz o seguinte: temos uma função f contínua em [0,1] e que f(0)·f(1)<0. A pergunta é analisar se é falso afirmar que
A) “[0,1] pode conter vários zeros de f.”
O assunto aqui é o Teorema do Valor Intermediário, que garante ao menos um zero, mas a gente precisa ver se esse teorema impede ou não que haja mais de um zero.
A) “[0,1] pode conter vários zeros de f.”
O assunto aqui é o Teorema do Valor Intermediário, que garante ao menos um zero, mas a gente precisa ver se esse teorema impede ou não que haja mais de um zero.
Passo 2
Vamos lembrar rapidinho do Teorema do Valor Intermediário (TVI):
Se f é contínua em [a,b] e y0 está entre f(a) e f(b), então existe c em [a,b] tal que f©=y0.
No nosso caso, y0=0 está entre f(0) e f(1) (porque f(0)·f(1)<0), logo existe pelo menos um c com f©=0.
Se f é contínua em [a,b] e y0 está entre f(a) e f(b), então existe c em [a,b] tal que f©=y0.
No nosso caso, y0=0 está entre f(0) e f(1) (porque f(0)·f(1)<0), logo existe pelo menos um c com f©=0.
Passo 3
Agora, o TVI só garante “pelo menos um” zero, mas nada impede que haja dois, três ou infinitos zeros.
Exemplo simples: pega f(x)=sin(2πx) em [0,1].
– f(0)=0, f(1)=0, mas se ajustarmos um pouco (tipo f(x)=sin(3πx)), a gente consegue vários pontos onde f(x)=0.
Ou ainda f(x)=(x−0.2)(x−0.5)(x−0.8) em [0,1], que tem três zeros distintos.
Exemplo simples: pega f(x)=sin(2πx) em [0,1].
– f(0)=0, f(1)=0, mas se ajustarmos um pouco (tipo f(x)=sin(3πx)), a gente consegue vários pontos onde f(x)=0.
Ou ainda f(x)=(x−0.2)(x−0.5)(x−0.8) em [0,1], que tem três zeros distintos.
Passo 4
Ou seja, não há nenhuma regra que limite o número de raízes de f em [0,1]. A única coisa que o TVI diz é “pelo menos uma”. Mas “várias” é totalmente possível.
Resposta
A afirmação “
pode conter vários zeros de
” é verdadeira. Logo é falso dizer que ela é falsa.